Question

9．太空中有一顆繞恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的行星，此行星上一晝夜的時(shí)間是T，在行星的赤道處用彈簧秤測(cè)量物體重力的讀數(shù)比在兩極時(shí)測(cè)量的讀數(shù)小10%，已知引力常量為G，求此行星的平均密度．

Answer 1

分析 此行星上一晝夜的時(shí)間是T，故其自轉(zhuǎn)周期為T(mén)；在行星的赤道處用彈簧秤測(cè)量物體的重力的讀數(shù)比在兩極時(shí)測(cè)量的讀數(shù)小10%，對(duì)赤道物體物體受到的萬(wàn)有引力和重力的合力提供向心力列式，兩極位置根據(jù)重力等于萬(wàn)有引力列式；最后聯(lián)立求解．

解答 解：行星上一晝夜的時(shí)間是T，即行星的自轉(zhuǎn)周期是T；
彈簧稱在赤道和兩極的讀數(shù)分別為F₁、F₂
在赤道上，G$\frac{Mm}{R^2}$-F₁=m$\frac{{4{π^2}}}{T^2}$R=M$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R
在兩極上，G$\frac{Mm}{R^2}$-F₂=0
又F₂-F₁=10% F₂
則m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R=10%G$\frac{Mm}{R^2}$
解得：$\frac{M}{R^3}$=$\frac{40{π}^{2}}{G{T}^{2}}$
而ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{3M}{{4π{R^3}}}$=$\frac{3}{4π}$×$\frac{40{π}^{2}}{G{T}^{2}}$=$\frac{30π}{G{T}^{2}}$
答：此行星的平均密度為$\frac{30π}{G{T}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵明確物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，然后結(jié)合萬(wàn)有引力定律提供向心力列式后聯(lián)立求解．