Question

19．如圖甲所示為驗證機械能守恒定律的實驗簡圖，地面以下為較松軟的泥土．實驗時把一質(zhì)量為m的鐵塊舉到離地面高為H的地方，讓其自由下落，落入泥土中．鐵塊下面貼有力傳感器（質(zhì)量忽略不計），可測得泥土中任意深度h處鐵塊受到的阻力f，圖乙為計算機根據(jù)所測數(shù)據(jù)繪制的擬合圖象（橫軸表示深度h，單位cm，縱軸表示阻力f，單位N）．

分析圖象數(shù)據(jù)，可得出鐵塊受到的阻力f與深度h的關(guān)系為f=kh³（選填“f=kh²”、“f=kh³”或“f=kh⁴ⁿ）．某次實驗中，鐵塊下落深度為h₁時停止運動，嘗試寫出鐵塊從下落到落地前驗證其機械能守恒定律的方程mgH=$\frac{1}{4}k{{h}_{1}}^{4}-mg{h}_{1}$（比例系數(shù)k為已知）

Answer 1

分析 根據(jù)圖乙中f和h的圖線對應(yīng)的數(shù)據(jù)，得出f與h的定量關(guān)系．根據(jù)動能定理，抓住f-h圖線圍成的面積表示克服阻力做功大小，結(jié)合數(shù)學(xué)知識，求出落地的動能，再結(jié)合機械能守恒得出鐵塊從下落到落地前驗證其機械能守恒定律的方程．

解答 解：由圖乙知，當(dāng)h=2cm時，f=8N，當(dāng)h=2.5cm時，f≈15.6N，可知鐵塊受到阻力f與深度h的關(guān)系為f=kh³，
對進入泥土的過程運用動能定理得：$mg{h}_{1}-{W}_{f}=0-\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
f-h圖線圍成的面積表示克服摩擦力做功，運用數(shù)學(xué)微積分得：${W}_{f}=\frac{1}{4}k{{h}_{1}}^{4}$，
可知落地的動能為：${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{4}k{{h}_{1}}^{4}-mg{h}_{1}$，
根據(jù)機械能守恒有：mgH=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
即mgH=$\frac{1}{4}k{{h}_{1}}^{4}-mg{h}_{1}$．
故答案為：f=kh³，mgH=$\frac{1}{4}k{{h}_{1}}^{4}-mg{h}_{1}$．

點評 本題考查了學(xué)生通過實驗數(shù)據(jù)分析物理量之間定量關(guān)系的能力，通過動能定理，抓住f-h圖線圍成的面積表示克服阻力做功得出落地的動能是解決本題的關(guān)鍵．