Question

14．如圖所示，MN、PQ是相互交叉成60°角的光滑金屬導(dǎo)軌，O是它們的交點且接觸良好．兩導(dǎo)軌處在同一水平面內(nèi)，并置于有理想邊界的勻強磁場中（圖中過O點的虛線為磁場的左邊界，與∠MOQ的平分線垂直）．磁感應(yīng)強度大小B=$\sqrt{5}$T，方向與導(dǎo)軌平面垂直．質(zhì)量m=0.1kg的導(dǎo)體棒ab與輕質(zhì)絕緣彈簧（其軸線沿∠MOQ的平分線）右端栓接，平行磁場邊界跨接在導(dǎo)軌上．t=0時刻，將棒ab運動到O點x₀=0.6m處由靜止釋放，剛釋放時棒的加速度a=60m/s²．已知棒ab運動到O點時彈簧處于原長，導(dǎo)軌和導(dǎo)體棒單位長度的電阻均為r=1Ω/m．彈簧始終處于彈性限度內(nèi)，求：
（1）彈簧勁度系數(shù)k；
（2）導(dǎo)體棒ab在磁場中勻速運動時的速度大小；
（3）導(dǎo)體棒ab從第一次經(jīng)過O點開始直到它靜止的過程中，導(dǎo)體棒ab中產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）剛釋放時，導(dǎo)體棒速度為零，沒有感應(yīng)電動勢，故不受安培力，受重力、支持力和彈簧拉力，合力等于彈簧的拉力，根據(jù)胡克定律和牛頓第二定律列式求解勁度系數(shù)；
（2）彈簧的彈力等于ab棒受到的安培力時加速度為零，此后向O點運動過程是勻速運動；
（3）導(dǎo)體棒往復(fù)運動，在磁場中向右運動時會減速，最終只能靜止于O點，結(jié)合功能關(guān)系列式分析．

解答 解：（1）導(dǎo)體棒ab剛釋放時感應(yīng)電流為零，故：kx₀=ma，
解得：k=$\frac{ma}{{x}_{0}}=\frac{0.6×60}{0.6}$=60N/m；
（2）棒ab勻速運動時，設(shè)ab棒在導(dǎo)軌之間的長度為l，此時導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生的有效電動勢：E=Blv，
因?qū)к壗徊娉?0°，故此時回路的總電阻為R=3lr，
由閉合電路歐姆定律得：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{Bv}{3r}$，
設(shè)O點到ab棒距離為x，根據(jù)幾何關(guān)系有：l=2xtan30°=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$x，
因ab棒做勻速運動，所以有：kx=BIl，
聯(lián)立以上各式解得：v=18$\sqrt{3}$m/s；
（3）導(dǎo)體棒做往復(fù)運動，在磁場中向右運動時會減速，最終只能靜止于O點，故其動能全部轉(zhuǎn)化為焦耳熱，根據(jù)能量守恒得：
Q=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}×0.6×{（18\sqrt{3}）}^{2}$=291.6J，
因?qū)�體棒的電阻始終是回路總電阻的$\frac{1}{3}$，故導(dǎo)體棒ab中產(chǎn)生的熱量為：
Q_ab=$\frac{1}{3}$Q=97.2J；
答：（1）彈簧勁度系數(shù)k為60N/m；
（2）導(dǎo)體棒ab在磁場中勻速運動時的速度大小為18$\sqrt{3}$m/s；
（3）導(dǎo)體棒ab從第一次經(jīng)過O點開始直到它靜止的過程中，導(dǎo)體棒ab中產(chǎn)生的熱量為97.2J．

點評 本題是電磁感應(yīng)與電路知識的綜合，要正確分析導(dǎo)體棒的受力情況，來判斷其運動情況，在計算電流時要注意使用接入電路的有效電動勢，該處為易錯點．