Question

【題目】有兩個(gè)完全相同的小滑塊A和B,A沿光滑水平面以速度v0與靜止在平面邊緣O點(diǎn)的B發(fā)生正碰,碰撞中無(wú)機(jī)械能損失.碰后B運(yùn)動(dòng)的軌跡為OD曲線(xiàn),如圖所示.

（1）已知小滑塊質(zhì)量為m,碰撞時(shí)間為Δt,求碰撞過(guò)程中A對(duì)B平均沖力的大��；

（2）為了研究物體從光滑拋物線(xiàn)軌道頂端無(wú)初速度下滑的運(yùn)動(dòng),特制做一個(gè)與B平拋軌跡完全相同的光滑軌道,并將該軌道固定在與OD曲線(xiàn)重合的位置,讓A沿該軌道無(wú)初速下滑（經(jīng)分析,A下滑過(guò)程中不會(huì)脫離軌道）.

a.分析A沿軌道下滑到任意一點(diǎn)的動(dòng)量pA與B平拋經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的動(dòng)量pB的大小關(guān)系;

b.在OD曲線(xiàn)上有一點(diǎn)M,O和M兩點(diǎn)連線(xiàn)與豎直方向的夾角為45°.求A通過(guò)M點(diǎn)時(shí)的水平分速度和豎直分速度.

Answer 1

【答案】（1） （2）a. A下滑到任意一點(diǎn)的動(dòng)量總和是小于B平拋經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的動(dòng)量．b. v0 ，v0

【解析】

（1）AB滑塊在碰撞的過(guò)程中動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒可以求得碰后B的速度的大小，在由動(dòng)量定理可以求得AB之間的相互的作用力的大��；

（2）a、A滑塊在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，只有重力做功，它的機(jī)械能守恒，而B做的是平拋運(yùn)動(dòng)，B有一個(gè)水平方向的初速度，所以在任意的一個(gè)位置，B的合速度都要比A的速度大，由此可以分析它們的動(dòng)量的關(guān)系；b、M點(diǎn)在平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡上，所以M點(diǎn)水平的位移和豎直方向上的位移滿(mǎn)足平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，再根據(jù)B滑塊做的是平拋運(yùn)動(dòng)，可以求得在M點(diǎn)的水平速度和豎直速度之間的關(guān)系．

（1）滑塊A與B正碰，滿(mǎn)足
mvA-mVB=mv0 ①
mvA2+mvB2=mv02②
由①②，解得vA=0，vB=v0，
根據(jù)動(dòng)量定理，滑塊B滿(mǎn)足F△t=mv0
解得．
所以碰撞過(guò)程中A對(duì)B平均沖力的大小為．
（2）a．設(shè)任意點(diǎn)到O點(diǎn)豎直高度差為d．
A、B由O點(diǎn)分別運(yùn)動(dòng)至該點(diǎn)過(guò)程中，只有重力做功，所以機(jī)械能守恒．
選該任意點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)，有
EA=mgd，EB=mgd+mv02
由于 ，
有 ，
即PA＜PB
所以A下滑到任意一點(diǎn)的動(dòng)量總和是小于B平拋經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的動(dòng)量．
b．以O為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系xOy，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向下，則對(duì)B有
x=v0t，
y=gt2
B的軌跡方程 ，
在M點(diǎn)x=y，所以y= ③
因?yàn)?/span>A、B的運(yùn)動(dòng)軌跡均為OD曲線(xiàn)，故在任意一點(diǎn)，兩者速度方向相同．
設(shè)B水平和豎直分速度大小分別為vBx和vBy，速率為vB；
A水平和豎直分速度大小分別為vAx和vAy，速率為vA，則 ，④
B做平拋運(yùn)動(dòng)，故vBx=v0，vBy= ，vB= ⑤
對(duì)A由機(jī)械能守恒得vA=，⑥
由④⑤⑥得，

將③代入得 vAx=v0 ，vAy=v0．
所以A通過(guò)M點(diǎn)時(shí)的水平分速度為v0 ，豎直分速度的大小為v0．