Question

8．如圖所示，兩根無限長金屬導軌MN，PQ水平地放置，相距L，質量均為m的光滑金屬棒ab，cd垂直于導軌上，在導軌間的電阻均為R，導軌電阻不計，整個裝置處在磁感應強度為B的豎直向下的勻強磁場中（圖中未畫出）．現對ab棒施加一個平行于導軌、方向水平向右的恒力F作用，cd棒會向右運動．設某一時刻ab棒的速度為v₁，cd棒的速度為v₂，求此時：

（1）安培力對cd棒做功的功率P_cd；
（2）ab棒克服安培力做功的功率；
（3）電路中產生的電功率P_電．

Answer 1

分析 （1）由右手定則可以判斷出感應電流方向，然后由法拉第電磁感應強度求出電路中的電動勢，由歐姆定律求出電路電流，由安培力公式求出桿受到的安培力；由瞬時功率的表達式即可求出；
（2）求出安培力，由瞬時功率的表達式即可求出；
（3）由電功率的表達式即可求出電路中產生的電功率P_電．

解答 解：（1）ab在拉力F的作用下向右運動時，ab上產生從a向b的感應電流，電流由d流向d，所以由左手定則可知，ab受到的安培力的方向向右，cd也將開始向右運動．
當ab棒的速度為v₁，cd棒的速度為v₂時，電路中產生的感應電動勢為：E=BL（v₂-v₁）
電路中的電流我：I=$\frac{E}{2R}=\frac{BL（{v}_{2}-{v}_{1}）}{2R}$
cd受到的安培力為：${F}_{cd}=BIL=\frac{E}{2R}=\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{2}-{v}_{1}）}{2R}$
所以安培力對cd棒做功的功率為：P_cd=F_cd•v₁=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{2}-{v}_{1}）{v}_{1}}{2R}$
（2）ab受到的安培力為：${F}_{ab}=BIL=\frac{E}{2R}=\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{2}-{v}_{1}）}{2R}$
ab棒克服安培力做功的功率為：P_ab=F_ab•v₂=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{2}-{v}_{1}）{v}_{2}}{2R}$；
（3）電路中產生的電功率為：P_電=I²•2R=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{2}-{v}_{1}）^{2}}{2R}$
答：（1）安培力對cd棒做功的功率是$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{2}-{v}_{1}）{v}_{1}}{2R}$；
（2）ab棒克服安培力做功的功率 是$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{2}-{v}_{1}）{v}_{2}}{2R}$；
（3）電路中產生的電功率是$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{2}-{v}_{1}）^{2}}{2R}$．

點評 本題考查了求導體棒的加速度、導體棒的最大速度，分析清楚金屬桿的運動過程是正確解題的前提與關鍵；當金屬桿受到的安培力與拉力相等時，桿做勻速直線運動，速度達到最大．