Question

6．如圖所示，一玻璃球體的半徑為R，O為圓心，AB為直徑，在B點有一單色光源（可向各個方向發(fā)射光線），其中其發(fā)出的光從M點折射出時折射光線恰好與AB平行，測得A、M之間的弧長為$\frac{πR}{3}$．
（1）求玻璃球體對該單色光的折射率；
（2）光在真空中的傳播速度為c，若不考慮光反射后的折射，求能射出玻璃球體的光在玻璃球體中傳播時間的范圍．

Answer 1

分析 （1）畫出光線BM的光路圖，由幾何知識求出光線在M點的入射角和折射角，再求出折射率n．
（2）由sinC=$\frac{1}{n}$求出臨界角．設(shè)光線在N點恰好發(fā)生全反射，入射角等于臨界角，再由幾何知識求解光在在玻璃球體中傳播距離的范圍，由v=$\frac{c}{n}$求得光在在玻璃球體中傳播速度，即可求得光在玻璃球體中傳播時間的范圍．

解答 解：（1）設(shè)光線BM在M點發(fā)生折射時對應(yīng)的入射角為i，折射角為r．

由公式l=θR知：弧AM對應(yīng)的圓心角 θ=$\frac{l}{R}$=$\frac{π}{3}$=60°
由幾何知識可知：∠ABM=$\frac{1}{2}$θ=30°
則 i=∠ABM=$\frac{1}{2}$θ=30°
根據(jù)折射定律得：n=$\frac{sinr}{sini}$=$\frac{sin60°}{sin30°}$=$\sqrt{3}$
（2）光在在玻璃球體中的傳播速度 v=$\frac{c}{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$c
設(shè)光線恰好在N點發(fā)生全反射，則∠BNO等于臨界角C，有：
  sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
光由B傳到N的時間 t₁=$\frac{BN}{v}$
由幾何知識可知，等腰三角形NOB中，BN的距離：BN=2RcosC=2R$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$R
聯(lián)立求得：光由B傳到N的時間 t₁=$\frac{2\sqrt{2}R}{c}$
光由B傳到A的時間為 t₂=$\frac{AB}{c}$=$\frac{2\sqrt{3}R}{c}$
所以所求的時間范圍為 $\frac{2\sqrt{2}R}{c}$＜t≤$\frac{2\sqrt{3}R}{c}$．
答：
（1）玻璃球體對該單色光的折射率是$\sqrt{3}$；
（2）能射出玻璃球體的光在玻璃球體中傳播時間的范圍為 $\frac{2\sqrt{2}R}{c}$＜t≤$\frac{2\sqrt{3}R}{c}$．

點評 解決幾何光學(xué)問題的關(guān)鍵要正確作出光路圖，分析隱含的臨界情況，知道全反射的條件，再結(jié)合折射定律和幾何知識進(jìn)行處理．