Question

18．滑板運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)陸地上的“沖浪運(yùn)動(dòng)”，滑板運(yùn)動(dòng)員可在不同的滑坡上滑行，做出各種動(dòng)作給人以美的享受．如圖甲所示，abcdef為同一豎直平面上依次平滑連接的滑行軌道，其中ab段水平，H=3m，bc段和cd段均為斜直軌道，傾角θ=37°，de段是一半徑R=2.5m的四分之一圓弧軌道，o點(diǎn)為圓心，其正上方的d點(diǎn)為圓弧的最高點(diǎn)，滑板及運(yùn)動(dòng)員總質(zhì)量m=60kg，運(yùn)動(dòng)員滑經(jīng)d點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)滑板支持力用N_d表示，忽略摩擦阻力和空氣阻力，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．除下述問(wèn)（3）中運(yùn)動(dòng)員做緩沖動(dòng)作以外，均可把滑板及運(yùn)動(dòng)員視為質(zhì)點(diǎn)．

（1）運(yùn)動(dòng)員從bc段緊靠b處無(wú)初速滑下，求N_d的大��；
（2）運(yùn)動(dòng)員逐漸減小從bc上無(wú)初速下滑時(shí)距水平地面的高度h，請(qǐng)?jiān)趫D乙的坐標(biāo)圖上作出N_d-h圖象（只根據(jù)作出的圖象評(píng)分，不要求寫出計(jì)算過(guò)程和作圖依據(jù)）；
（3）運(yùn)動(dòng)員改為從b點(diǎn)以υ₀=4m/s的速度水平滑出，落在bc上時(shí)通過(guò)短暫的緩沖動(dòng)作使他只保留沿斜面方向的速度繼續(xù)滑行，則他是否會(huì)從d點(diǎn)滑離軌道？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算得出結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)動(dòng)員從開(kāi)始滑下至滑到d點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律求出d點(diǎn)速度，根據(jù)牛頓第二定律求出軌道對(duì)滑板支持力．
（2）根據(jù)N_d-h的關(guān)系式作圖．
（3）運(yùn)動(dòng)員離開(kāi)b點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，落在斜面上時(shí)，豎直方向上的位移和水平方向上的位移的比值等于tanθ，根據(jù)這一關(guān)系求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而求出落在斜面上時(shí)在豎直方向上的分速度．落在bc上時(shí)通過(guò)短暫的緩沖動(dòng)作使他只保留沿斜面方向的速度繼續(xù)滑行，對(duì)落地點(diǎn)的速度沿垂直斜面方向和沿斜面方向正交分解，求出沿斜面方向的分速度，即為沿斜面滑行的速度，然后根據(jù)動(dòng)能定理求出d點(diǎn)的速度，與d點(diǎn)的臨界速度進(jìn)行比較，判斷是否會(huì)從d點(diǎn)滑離軌道．

解答 解：（1）從開(kāi)始滑下至d點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律得
  $mg（H-R）=\frac{1}{2}m{υ^2}$  ①
在d點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得 $mg-{N_d}=\frac{{m{υ^2}}}{R}$ ②
由①②得：${N_d}=mg（3-\frac{2H}{R}）=360N$ ③
（2）所求的N_d-h圖象如圖所示．
（3）當(dāng)以υ₀=4m/s從b點(diǎn)水平滑出時(shí)，運(yùn)動(dòng)員做平拋運(yùn)動(dòng)落在Q點(diǎn)，如圖所示．設(shè)Bq=s₁，則
   s₁sin37°=$\frac{1}{2}$gt² ④
   s₁cos37°=v₀t  ⑤
在Q點(diǎn)緩沖后  ${υ_Q}={υ_y}sin{37^0}+{υ_0}cos{37^0}=6.8m/s$  ⑧
從Q→d得 $mg（H-\frac{1}{2}g{t^2}）-mgR=\frac{1}{2}mυ_d^2-\frac{1}{2}mυ_Q^2$ ⑨
運(yùn)動(dòng)員恰從d點(diǎn)滑離軌道應(yīng)滿足：$mg=\frac{{mυ_d^{′2}}}{R}$ ⑩
由⑨⑩得$υ_d^{′2}-υ_d^2=4.76$即$υ_d^′＞{υ_d}$（11）
見(jiàn)滑板運(yùn)動(dòng)員不會(huì)從圓弧最高點(diǎn)d滑離軌道．
答：
（1）若運(yùn)動(dòng)員從bc 段緊靠b處無(wú)初速度滑下，N_d的大小是360N．
（2）如上圖．
（3）滑板運(yùn)動(dòng)員不會(huì)從圓弧最高點(diǎn)d滑離軌道．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道平拋運(yùn)動(dòng)落在斜面上，豎直方向上的位移和水平方向上的位移的比值是定值，根據(jù)該關(guān)系可求出時(shí)間．以及在外軌道做圓周運(yùn)動(dòng)，最高點(diǎn)有最大速度，此時(shí)正壓力為0，有重力等于向心力．