Question

1．如圖是某“吃貨”設(shè)想的“糖炒粟子”神奇裝置：炒鍋的縱截面與半徑R=1.6m的光滑半圓弧軌道位于同一豎直面內(nèi)，炒鍋縱截面可看作是長度均為L=2.5m的斜面AB、CD和一小段光滑圓弧BC平滑對接組成．假設(shè)一粟子從水平地面上以水平初速v₀射入半圓弧軌道，并恰好能從軌道最高點(diǎn)P飛出，且速度恰好沿AB方向從A點(diǎn)進(jìn)入炒鍋．已知兩斜面的傾角均為θ=37°，栗子與兩斜面之間的動摩擦因數(shù)均為μ=$\frac{3}{8}$，栗子在鍋內(nèi)的運(yùn)動始終在圖示縱截面內(nèi)，整個過程栗子質(zhì)量不變，重力加速度取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：

（1）粟子的初速度v₀及A點(diǎn)離地高度h；
（2）栗子在斜面CD上能夠到達(dá)的距C點(diǎn)最大距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出滑塊恰好到達(dá)P點(diǎn)的速度，根據(jù)速度方向與斜面AB平行，結(jié)合平拋運(yùn)動的規(guī)律，運(yùn)用平行四邊形定則求出豎直分速度，從而得出AD離地的高度．
（2）根據(jù)平行四邊形定則求出進(jìn)入A點(diǎn)時滑塊的速度，對全過程運(yùn)用動能定理列式即可求得在CD面上到達(dá)的最大高度．

解答 解：（1）在P點(diǎn)時，粟子恰好飛出，則有：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×1.6}$=4m/s
粟子在圓弧面上運(yùn)動時，機(jī)械能守恒，
mg2R=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$mv²
聯(lián)立解得：v₀=$\sqrt{5gR}$=$\sqrt{5×10×1.6}$=4$\sqrt{5}$m/s；
粟子由P點(diǎn)做平拋運(yùn)動，平行于AB方向進(jìn)行斜面，說明粟子末速度方向與水平方向成45°角；
則有：v_y=v₀tan37°=4×$\frac{3}{4}$=3m/s；
合速度v_A=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5m/s
根據(jù)v_y=gt可知，下落時間t=$\frac{3}{10}$=0.3s；
小球下落高度h=$\frac{1}{2}$gt²=$\frac{1}{2}×10×0.09$=0.45m；
A點(diǎn)離地高度h'=2R-h=2×1.6-0.45=2.75m；
（2）假設(shè)粟子在CD邊上上滑的距離為x，則對由A到右側(cè)最高點(diǎn)分析，由動能定理可知：
mg（Lsin37°-xsin37°）-μmgcos37°（L+x）=0-$\frac{1}{2}$mv_A²
解得：x=$\frac{20}{9}$m
答：（1）粟子的初速度v₀及A點(diǎn)離地高度h分別為4$\sqrt{5}$m/s和2.75m
（2）栗子在斜面CD上能夠到達(dá)的距C點(diǎn)最大距離為$\frac{20}{9}$m

點(diǎn)評 本題考查動能定理以及機(jī)械能守恒定律和平拋以及向心力公式的結(jié)合，要注意明確物理過程，知道物體通過最高點(diǎn)的條件，從而正確選擇物理規(guī)律列式求解．