Question

（2006?佛山模擬）理論證明，取離星球中心無窮遠(yuǎn)處為引力勢能的零勢點時，以物體在距離星球中心為r處的引力勢能可表示為：E_p=-G

Mm

r

．G為萬有引力常數(shù)，M、m表示星球與物體的質(zhì)量，而萬有引力做的功則為引力勢能的減少．已知月球質(zhì)量為M、半徑為R，探月飛船的總質(zhì)量為m．月球表面的重力加速度為g，萬有引力常數(shù)G．
（1）求飛船在距月球表面H（H＞

R

3

）高的環(huán)月軌道運行時的速度v；
（2）設(shè)將飛船從月球表面發(fā)送到上述環(huán)月軌道的能量至少為E．有同學(xué)提出了一種計算此能量E的方法：根據(jù)E=

1

2

mv2+mgH，將（1）中的v代入即可．請判斷此方法是否正確，并說明理由．如不正確，請給出正確的解法與結(jié)果（不計飛船質(zhì)量的變化及其他天體的引力和月球的自轉(zhuǎn)）．

Answer 1

分析：（1）探月飛船作圓周運動所需的向心力由月球?qū)μ皆嘛w船的萬有引力提供，根據(jù)牛頓第二定律列式求解；
（2）將飛船從月球表面發(fā)送到上述環(huán)月軌道的能量等于動能和勢能的增加量，勢能增加量根據(jù)公式E_p=-G

Mm

r

求解．

解答：解：（1）探月飛船作圓周運動所需的向心力由月球?qū)μ皆嘛w船的萬有引力提供
所以：G

Mm

(R+H)2

=m

v2

R+H

解得v=

GM R+H

（2）因探月飛船從月球表面發(fā)送到H高處的過程中月球的引力為變力，故克服引力所做的功不等于mgH，所以該同學(xué)的方法不正確；
由引力勢能定義可知探月飛船從月球表面發(fā)送到H處引力勢能的改變量△EP=(-G

Mm

R+H

)-(-G

Mm

R

)=GMm

H

R(R+H)

由能量守恒定律可知，將探月飛船從月球表面發(fā)送到H處所需的能量為：E=

1

2

mv2+△Ep=

1

2

m

GM

R+H

+

GMmH

R(R+H)

=

GMm(R+2H)

2R(R+H)

答：（1）飛船在距月球表面H（H＞

R

3

）高的環(huán)月軌道運行時的速度v為

GM R+H

；
（2）將飛船從月球表面發(fā)送到上述環(huán)月軌道的能量至少為

GMm(R+2H)

2R(R+H)

．

點評：本題關(guān)鍵是明確衛(wèi)星的向心力來源、勢能的表達(dá)式、動能的表達(dá)式，然后根據(jù)牛頓第二定律和機(jī)械能守恒定律列式求解．