Question

18．如圖所示，在傾角為θ的斜面上，有兩條很長(zhǎng)、光滑的、間距為L(zhǎng)的平行金屬導(dǎo)軌固定其上，導(dǎo)軌電阻忽略不計(jì)，軌道間分布著條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)區(qū)域的寬度為d₁，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向與導(dǎo)軌平面垂直向下，磁場(chǎng)區(qū)域之間的距離為d₂，兩根質(zhì)量均為m，電阻為R的導(dǎo)體棒a和b放在導(dǎo)軌上，并與導(dǎo)軌垂直．（設(shè)重力加速度為g）
（1）若a固定在第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域上邊，b固定在第1個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域上邊，同時(shí)釋放a、b棒，求：b穿過(guò)第1個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域過(guò)程中增加的動(dòng)能△E_k；
（2）若a進(jìn)入第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，b恰好離開(kāi)第1個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域；此后a離開(kāi)第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，b又恰好進(jìn)入第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域，且a、b在任意一個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域或無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域的運(yùn)動(dòng)時(shí)間均相等，求：b穿過(guò)第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域過(guò)程中，兩導(dǎo)體棒產(chǎn)生的總焦耳熱Q．
（3）對(duì)于第（2）問(wèn)所述的運(yùn)動(dòng)情況，求a穿出第k個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速率v．

Answer 1

分析 （1）a進(jìn)入第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，b以與a同樣的速度進(jìn)入第1個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，穿過(guò)回路的磁通量不變，沒(méi)有感應(yīng)電流產(chǎn)生，兩棒均不受安培力，機(jī)械能守恒，可求出△E_k．
（2）兩棒分在磁場(chǎng)區(qū)域中和無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域中運(yùn)動(dòng)兩個(gè)過(guò)程研究：在磁場(chǎng)區(qū)域中，導(dǎo)體棒的動(dòng)能和重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能；在無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域中機(jī)械能守恒，則可根據(jù)能量守恒和機(jī)械能守恒列式求出b穿過(guò)第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域過(guò)程中，兩導(dǎo)體棒產(chǎn)生的總焦耳熱Q．
（3）本問(wèn)有一定的難度，由于導(dǎo)體棒做加速度逐漸減小的減速運(yùn)動(dòng)，其加速度是變化的，因此不能用勻變速運(yùn)動(dòng)知識(shí)解答，可以通過(guò)微積分思想進(jìn)行解答，如在極短的時(shí)間內(nèi)安培力可以認(rèn)為不變，利用牛頓第二定律列方程，然后根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)求解．

解答 解：（1）a和b不受安培力作用，由機(jī)械能守恒知：△E_k=mgd₁sinθ
（2）設(shè)導(dǎo)體棒剛進(jìn)入無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度為v₁，剛離開(kāi)無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度為v₂，由能量守恒知
在磁場(chǎng)區(qū)域中有：$\frac{1}{2}m{v}_1^2+Q=\frac{1}{2}m{v}_2^2+mg{d_1}sinθ$ 
在無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域中有：$\frac{1}{2}m{v}_2^2=\frac{1}{2}m{v}_1^2+mg{d_2}sinθ$ 
解得：Q=mg（d₁+d₂）sinθ 
（3）在無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：v₂-v₁=gtsinθ
且平均速度為：$\frac{{{{v}_1}+{{v}_2}}}{2}=\frac{d_2}{t}$ 
有磁場(chǎng)區(qū)域，棒a受到合力為：F=mgsinθ-BIl
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：ε=Blv
感應(yīng)電流為：$I=\frac{ε}{2R}$ 
解得：$F=mgsinθ-\frac{{{B^2}{l^2}}}{2R}{v}$ 
根據(jù)動(dòng)量定理，在t秒內(nèi)有：Ft=m（v₁-v₂）
得：v₁-v₂=gtsinθ-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}}{2mR}kia8gkk_{1}$
解得：${{v}_1}=\frac{{4mgR{d_2}}}{{{B^2}{l^2}{d_1}}}sinθ-\frac{{{B^2}{l^2}{d_1}}}{8mR}$
由題意知：${v}={{v}_1}=\frac{{4mgR{d_2}}}{{{B^2}{l^2}{d_1}}}sinθ-\frac{{{B^2}{l^2}{d_1}}}{8mR}$
答：（1）b穿過(guò)第1個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域過(guò)程中增加的動(dòng)能△E_k為mgd₁sinθ．
（2）b穿過(guò)第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域過(guò)程中，兩導(dǎo)體棒產(chǎn)生的總焦耳熱Q為mg（d₁+d₂）sinθ．
（3）a穿出第k個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速率v為$\frac{4mgRaqmqcqg_{2}}{{B}^{2}{l}^{2}ueaag6y_{1}}sinθ$-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}mq68c8o_{1}}{8mR}$．

點(diǎn)評(píng) 注意克服安培力做功為整個(gè)回路中產(chǎn)生的熱量；本題的難點(diǎn)在于第（3）問(wèn)，方法巧妙，在平時(shí)練習(xí)中一定注意數(shù)學(xué)知識(shí)在物理中的應(yīng)用．