Question

如圖所示，在光滑水平面上有一輛長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為m的絕緣木板小車正以向右的初速度v₁=

gL

做勻速直線運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)無初速地釋放一個(gè)質(zhì)量也為m，帶電量為+q（q＞0）的小物塊在小車的正中央，發(fā)現(xiàn)物塊恰好沒有從車上掉下來．
（1）求物塊與小車上表面間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)μ；
（2）若車的初速度為2v₀，在物塊剛放上小車的同時(shí)在空間加一水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₁，為了讓物塊不從車的左端掉下來，求電場(chǎng)強(qiáng)度E₁的最小值；
（3）若車的初速度為2v₀，在物塊剛放上小車的同時(shí)在空間加勻強(qiáng)電場(chǎng)E₂，其方向在豎直平面內(nèi)與水平方向夾角為θ=37°斜向右下方．為了讓物塊始終不從小車上掉下來，求電場(chǎng)強(qiáng)度E₂的大小范圍．（重力加速度記為g，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8）

Answer 1

分析：（1）放上物塊到二者達(dá)到共同速度，系統(tǒng)動(dòng)量守恒列出等式，系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量等于系統(tǒng)動(dòng)能的減少量列出等式求解
（2）加上水平向右的電場(chǎng)后，物塊向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，小車在摩擦力作用下向右做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)E₁取最小值時(shí)，二者達(dá)到共同速度v₂時(shí)物塊恰好到達(dá)小車的左端，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解．
（3）加上斜向右下方的電場(chǎng)后，物塊向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，小車摩擦力作用下向右做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)E₂最小時(shí)，二者達(dá)共同速度v₂時(shí)物塊恰好到達(dá)小車的左端．當(dāng)E₂最大時(shí)，二者在達(dá)到共同速度前物塊一定不會(huì)從小車上掉下，達(dá)到共同速度后恰好不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，運(yùn)用牛頓第二定律求解．

解答：解：（1）放上物塊到二者達(dá)到共同速度，系統(tǒng)動(dòng)量守恒
mv₁=2mv′
系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量等于系統(tǒng)動(dòng)能的減少量，有
μmg

L

2

=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

?2m

v′

2

得μ=

v′2

2gL

=0.5　
（2）加上水平向右的電場(chǎng)后，物塊向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)
ma₁=qE₁+μmg　
小車在摩擦力作用下向右做勻減速直線運(yùn)動(dòng)
ma₂=μmg　
當(dāng)E₁取最小值時(shí)，二者達(dá)到共同速度v₂時(shí)物塊恰好到達(dá)小車的左端
v₂=a₁t=2v′-a₂t

2v′+v2

2

t-

v2

2

t=

L

2

　
解得E₁=

3mg

q

　
（3）加上斜向右下方的電場(chǎng)后，物塊向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)
對(duì)物塊：ma₃=qE₂cosθ+μ（mg+qE₂sinθ）
小車摩擦力作用下向右做勻減速直線運(yùn)動(dòng)
對(duì)小車：ma₄=μ（mg+qE₂sinθ）
當(dāng)E₂最小時(shí)，二者達(dá)共同速度v₂時(shí)物塊恰好到達(dá)小車的左端
v₃=a₃t=2v′-a₄t

2v′+v3

2

t-

v3

2

t=

L

2

　
解得E_2min=

15mg

7q

當(dāng)E₂最大時(shí)，二者在達(dá)到共同速度前物塊一定不會(huì)從小車上掉下，達(dá)到共同速度后恰好不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)
對(duì)整體2ma=qE₂cosθ
對(duì)小車ma=μ（mg+qE₂sinθ）
解得E_2max=

5mg

q

所以

15mg

7q

≤E₂≤

5mg

q

．
答：（1）求物塊與小車上表面間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)是0.5；
（2）若車的初速度為2v₀，在物塊剛放上小車的同時(shí)在空間加一水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₁，為了讓物塊不從車的左端掉下來，電場(chǎng)強(qiáng)度E₁的最小值是

3mg

q

；
（3）若車的初速度為2v₀，在物塊剛放上小車的同時(shí)在空間加勻強(qiáng)電場(chǎng)E₂，其方向在豎直平面內(nèi)與水平方向夾角為θ=37°斜向右下方．為了讓物塊始終不從小車上掉下來，電場(chǎng)強(qiáng)度E₂的大小范圍是

15mg

7q

≤E₂≤

5mg

q

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了勻變速直線運(yùn)動(dòng)基本公式和系統(tǒng)動(dòng)量守恒的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能正確分析各過程的受力情況，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，結(jié)合隔離法和整體法解題，難度較大．