Question

5．某�？萍脊�(jié)舉行車模大賽，其規(guī)定的賽道如下圖所示，某小車以額定功率18W由靜止開始從A點出發(fā)，加速2s后進入光滑的豎直圓軌道BC，恰好能經(jīng)過圓弧軌道最高點C，然后經(jīng)過光滑曲線軌道BE后，從E處水平飛出，最后落入沙坑中，已知圓半徑R=1.2m，沙坑距離BD平面高度h₂=1m，小車的總質(zhì)量為1kg，求：
（1）小車在B點對軌道的壓力；
（2）小車在AB段克服摩擦力做功；
（3）末端平拋高臺h₁為多少時，能讓小車落入沙坑的水平位移最大？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)小車恰能過最高點，可知最高點小車只受重力，從最高點到B點根據(jù)動能定理分析列式．在B點根據(jù)牛頓第二定律可求解小車支持力大小，支持力等于小車對軌道壓力大�。�
（2）根據(jù)動能定理可求解從A到B摩擦力做功大小．
（3）根據(jù)動能定理和平拋運動的規(guī)律，可以得到小車水平位移的表達式，通過數(shù)學(xué)表達式分析可求解位移最大值．

解答 解：（1）由于小車恰好經(jīng)過最高點C，即   $mg=m\frac{{{v}_{c}}^{2}}{R}$
    小車從B點到C點根據(jù)動能定理可得    $-2mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$
    小車在B點根據(jù)牛頓第二定律 ${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$
   聯(lián)立解得小車受到的支持力  F_N=60N，即小車對軌道的壓力為60N，方向豎直向下．
（2）小車在AB段運動根據(jù)動能定理：$Pt+{W}_{f}=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
      解得    W_f=-6J，即小車克服摩擦力做功6J
（3）小車從B到E根據(jù)動能定理：$-mg{h}_{1}=\frac{1}{2}m{{v}_{E}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$
     飛出后，小車做平拋運動，所以    ${h}_{1}+{h}_{2}=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
    水平位移   x=v_Et
    由以上各式可得   $x=\sqrt{{{v}_{B}}^{2}-2g{h}_{1}}\sqrt{\frac{2（{h}_{1}+{h}_{2}）}{g}}$，
     即    $x=\sqrt{（60-20{h}_{1}）（\frac{{h}_{1}+1}{5}）}$，
      當(dāng)  h₁=1m 時，有水平距離最大 x_max=4m
答：（1）小車在B點對軌道的壓力60N，方向豎直向下；
（2）小車在AB段克服摩擦力做功6J；
（3）末端平拋高臺h₁為1m時，能讓小車落入沙坑的水平位移最大，最大值是4m．

點評 本題要注意對臨界條件的判斷應(yīng)用，恰能過最高點指只受重力作用；水平最大距離要根據(jù)水平位移的表達式分析求解．