Question

8．長為l的桿一端靠在豎直墻上，另一端擱在水平地板上，桿下端A點(diǎn)在水平面上以速度v₀離墻運(yùn)動(dòng)，問當(dāng)與水平面夾角α?xí)r，桿上哪一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度最��？最小速度為多少？

Answer 1

分析 把AB兩點(diǎn)的速度分別沿桿的方向和垂直于桿的方向上進(jìn)行正交分解，根據(jù)沿桿上的速度處處相等求得B的實(shí)際速度，再求出B點(diǎn)垂直于桿的方向上的速度，AB兩點(diǎn)在垂直于桿的方向上圍繞桿上的某點(diǎn)做加速度相同的圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)即可解得該點(diǎn)的位置，再由速度的合成就能得知該處的最小速度．

解答 解：把A點(diǎn)的速度沿桿的方向和垂直與桿的方向進(jìn)行正交分解，如圖所示，有：
v_A1=v₀cosα
v_A2=v₀sinα
設(shè)B點(diǎn)的速度為v_B，也沿桿的方向和垂直與桿的方向進(jìn)行正交分解，如圖所示，有：
v_B1=v_Bsinα
沿桿的方向上AB兩點(diǎn)的速度相等，有：
v_B1=v₀cosα
得：v_B=$\frac{cosα}{sinα}$v₀
B的速度沿垂直于桿的方向上的分量為：
v_B2=v_Bcosα=$\frac{co{s}^{2}α}{sinα}$v₀
桿上的任意一點(diǎn)都參與了沿桿的方向上的運(yùn)動(dòng)和沿垂直于桿的方向上的運(yùn)動(dòng)，在垂直于桿的方向上，AB兩點(diǎn)圍繞著桿上的某點(diǎn)做相同角速度的圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)該點(diǎn)為O點(diǎn)，OA為r₁，OB為r₂，有：
r₁+r₂=L
$\frac{{v}_{0}sinα}{{r}_{1}}$=$\frac{\frac{co{s}^{2}α}{sinα}{v}_{0}}{{r}_{2}}$
聯(lián)立以上兩式解得：
r₁=Lsin²α
O點(diǎn)垂直于桿的方向上的速度為零，只有沿桿的方向上的速度，為v_O=v_A1=v₀cosα，所以當(dāng)桿與水平面夾角α?xí)r，O點(diǎn)的速度最小，最小為v₀cosα．
答：桿上距離A點(diǎn)為Lsin²α的點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度最小，最小速度為v₀cosα．

點(diǎn)評(píng) 該題既考查到了運(yùn)動(dòng)的合成與分解，同時(shí)也考查到了勻速圓周運(yùn)動(dòng)的相關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是對于類似的直桿的滑動(dòng)問題，要明確桿上各點(diǎn)沿桿的方向上的速度是相同的，包括用細(xì)繩鏈接的物體沿繩子的方向上的速度是相同．還有就是類似于該題中的直桿上的各點(diǎn)，在沿桿的方向上運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，還會(huì)圍繞著桿上的某點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)．是一道難度較大的題．