Question

5．如圖1所示，加速電場的加速電壓為U₀=50V，在它的右側有水平正對放置的平行金屬板a、b構成的偏轉電場，且此區(qū)間內(nèi)還存在著垂直紙面方向的勻強磁場B₀．已知金屬板的板長L=0.1m，板間距離d=0.1m，兩板間的電勢差u_ab隨時間變化的規(guī)律如圖2所示．緊貼金屬板a、b的右側存在半圓形的有界勻強磁場，磁感應強度B=0.01T，方向垂直紙面向里，磁場的直徑MN=2R=0.2m即為其左邊界，并與中線OO′垂直，且與金屬板a的右邊緣重合于M點．兩個比荷相同、均為q/m=1×10⁸ C/kg的帶正電的粒子甲、乙先后由靜止開始經(jīng)過加速電場后，再沿兩金屬板間的中線OO′方向射入平行板a、b所在的區(qū)域．不計粒子所受的重力和粒子間的相互作用力，忽略偏轉電場兩板間電場的邊緣效應，在每個粒子通過偏轉電場區(qū)域的極短時間內(nèi)，偏轉電場可視作恒定不變．
（1）若粒子甲由t=0.05s時飛入，恰能沿中線OO′方向通過平行金屬板a、b正對的區(qū)域，試分析該區(qū)域的磁感應強度B₀的大小和方向；
（2）若撤去平行金屬板a、b正對區(qū)域的磁場，粒子乙恰能以最大動能飛入半圓形的磁場區(qū)域，試分析該粒子在該磁場中的運動時間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理求得加速粒子經(jīng)加速電場加速后的速度，再根據(jù)粒子在ab間運動時電場力與洛倫茲力平衡求得ab間的磁場強度B₀；
（2）粒子進入磁場獲得最大的動能，可知粒子進入ab時電場的加速電壓最大，且粒子恰好沿ab極板的下極板邊緣射出電場，求得粒子射出電場時的速度，進入磁場后粒子做圓周運動，根據(jù)幾何關系求得粒子圓周運動轉過的圓心角，從而求得粒子運動的時間即可．

解答 解：（1）粒子在加速電場中加速，由動能定理有：
qU₀=$\frac{1}{2}$mv₀²，解得：v₀=$\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$=1×10⁵m/s，
由乙圖圖象可知，當t=0.05s時，U_ab=50V
帶電粒子在兩板間運動時，恰好沿OO′射出說明粒子在復合場中受到的電場力與洛倫茲力平衡
所以有：qv₀B₀=qE=q$\frac{{U}_{ab}}a5dm6qc$，解得：B₀=$\frac{{U}_{ab}}{d{v}_{\;}}$=5×10^-3T，
據(jù)左手定則知，磁場方向垂直紙面向里；
（2）撤去平行金屬板正對磁場，帶電粒子將做類平拋運動，若獲得最大動能，
則有粒子在兩板間的偏轉電壓最大且剛好從下板邊緣飛出，據(jù)此有：
水平方向：L=v₀t…①
豎直方向：$\frac{1}{2}$d=$\frac{1}{2}$at²…②
粒子的加速度：a=$\frac{qE}{m}$=$\frac{q{U}_{ab}′}{md}$…③
由①②③可得U_ab′=100V＜200V
可知假設成立，當U_ab=100V時，粒子離開偏轉電場時獲得最大動能
粒子在電場中運動時間為：t=$\frac{L}{{v}_{0}}$=1×10^-6s，
粒子離開電場時在電場方向的上的速度為：v_y=at=1×10⁵m/s=v₀，
所以粒子進入磁場時的速度為：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{2}$v₀，
粒子進入磁場時的速度方向與水平方向成45°角．
粒子進入磁場時在洛倫茲力作用下做圓周運動，有：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
可得圓周運動的半徑為：r=$\frac{mv}{qB}$=0.14m，

如圖，由幾何關系可得：sin$\frac{θ}{2}$=$\frac{\frac{R}{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
所以粒子在磁場中運動的時間為：t=$\frac{θ}{2π}$T=$\frac{θ}{2π}$$\frac{2πm}{qB}$=2arcsin$\frac{\sqrt{2}}{4}$×10^-6s；
答：（1）若粒子甲由t=0.05s時飛入，恰能沿中線OO′方向通過平行金屬板a、b正對的區(qū)域，該區(qū)域的磁感應強度B₀的大小為5×10^-3T，方向垂直紙面向里；
（2）若撤去平行金屬板a、b正對區(qū)域的磁場，粒子乙恰能以最大動能飛入半圓形的磁場區(qū)域，該粒子在該磁場中的運動時間為2arcsin$\frac{\sqrt{2}}{4}$×10^-6s．

點評 本題考查帶電粒子在有界磁場和電場中的運動，根據(jù)動能定理求出經(jīng)過加速電場后的速度，由兩極板間勻速列出受力平衡的公式，求出磁感應強度大小及方向，進入磁場中根據(jù)題目所給條件畫出粒子運動軌跡，借助幾何關系求解．本題難度中等．