Question

10．如圖所示，無限寬廣的勻強磁場分布在xoy平面內，x軸上下方磁場均垂直xoy 平面向里，x軸上方的磁場的磁感應強度為B，x軸下方的磁場的磁感應強度為$\frac{4B}{3}$．現(xiàn)有一質量為m，電量為-q帶負電粒子以速度v₀從坐標原點O沿y方向進入上方磁場．在粒子運動過程中，與x軸交于若干點．不計粒子的重力．求：

（1）粒子在x軸上方磁場做勻速圓周運動半徑r₁
（2）如把x上方運動的半周與x下方運動的半周稱為一周期的話，則每經(jīng)過一周期，在x軸上粒子右移的平均速度．
（3）在與x軸的所有交點中，粒子兩次通過同一點的坐標位置．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力，求出粒子在x軸上方和x軸下方做圓周運動的半徑；
（2）分析清楚粒子運動過程，求出粒子的位移與運動時間，然后求出平均速度；
（3）作出粒子運動的軌跡示意圖，結合半徑關系，找出粒子兩次通過x軸上同一點的位置，根據(jù)幾何關系計算這些點的坐標．

解答 解：（1）粒子在x軸上方磁場做勻速圓周運動半徑r₁，下方磁場中做勻速圓周運動半徑r₂，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：
qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
解得：r₁=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$，r₂=$\frac{3m{v}_{0}}{4qB}$；
（2）在磁場中運動軌跡如圖所示，如把x上方運動的半周與x下方運動的半周稱為一周期的話，則每經(jīng)過一周期，在x軸上粒子右移：
△x=2r₁-2r₂=$\frac{m{v}_{0}}{2qB}$，
粒子做圓周運動的周期：T₁=$\frac{2πm}{qB}$，T₂=$\frac{3πm}{2qB}$，
運動時間：t=$\frac{1}{2}$（T₁+T₂）=$\frac{7πm}{4qB}$，
速度：v=$\frac{△x}{t}$=$\frac{2{v}_{0}}{7π}$；
（3）則在每4周期剛結束時粒子第二次經(jīng)過：x₁=2r₁的這一點，以后每過一周期將會出現(xiàn)符合要求的點．
故x_t=2r₁+$\frac{（k-1）{r}_{1}}{2}$=$\frac{（k+3）{r}_{1}}{2}$=$\frac{（k+3）m{v}_{0}}{2qB}$　　k=1、2、3…；

答：（1）粒子在x軸上方磁場做勻速圓周運動半徑r₁為$\frac{m{v}_{0}}{qB}$；
（2）如把x上方運動的半周與x下方運動的半周稱為一周期的話，則每經(jīng)過一周期，在x軸上粒子右移的平均速度為$\frac{2{v}_{0}}{7π}$．
（3）在與x軸的所有交點中，粒子兩次通過同一點的坐標位置為$\frac{（k+3）m{v}_{0}}{2qB}$　k=1、2、3…）．

點評 解決本題的關鍵畫出粒子運動的軌跡圖，理清粒子在整個過程中的運動情況，結合洛倫茲力提供向心力和幾何關系進行求解．