Question

13．如圖所示，固定的水平軌道MN與位于豎直平面內(nèi)的光滑半圓軌道相接，M、N兩點(diǎn)間的距離為L(zhǎng)，圓軌道半徑為R（R的大小可以變化），PN恰好為該圓的一條豎直直徑．可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m的物塊B在N點(diǎn)獲得不同的水平向右的初速度，調(diào)節(jié)R的大小，使物體能夠到達(dá)最高點(diǎn)P，且物體都能夠落到M點(diǎn)，重力加速度為g．（已知a²+b²≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立）
（1）求R和L的關(guān)系滿足什么條件時(shí)，物體落到M點(diǎn)的速度有最小值；
（2）在滿足（1）的條件下，求在最高點(diǎn)P，軌道對(duì)物體B的壓力的大小．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得出物體經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的速度表達(dá)式，再由機(jī)械能守恒定律求得物體落到M點(diǎn)的速度，最后由數(shù)學(xué)知識(shí)求解．
（2）物體在P點(diǎn)時(shí)，由重力和軌道對(duì)物體壓力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求解軌道對(duì)物體B的壓力．

解答 解：（1）設(shè)物體經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)速度為v₀，落到M點(diǎn)時(shí)的速度為v．由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有 
水平方向上有：L=v₀t，
豎直方向上有：2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
聯(lián)立可得：v₀=L$\sqrt{\frac{g}{4R}}$
從P到M，由機(jī)械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
聯(lián)立得：v=$\sqrt{\frac{g{L}^{2}}{4R}+4gR}$
根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可知，當(dāng)$\frac{g{L}^{2}}{4R}$=4gR，即L=4R時(shí)，v有最小值．
（2）在滿足（1）的條件下，得：v₀=L$\sqrt{\frac{g}{4R}}$=4R$\sqrt{\frac{g}{4R}}$=2$\sqrt{gR}$
物體在P點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得：
N+mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得：N=3mg
答：（1）當(dāng)L=4R時(shí)，物體落到M點(diǎn)的速度有最小值；
（2）在滿足（1）的條件下，在最高點(diǎn)P，軌道對(duì)物體B的壓力的大小是3mg．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了平拋運(yùn)動(dòng)、機(jī)械能守恒定律、向心力公式的應(yīng)用，關(guān)鍵要認(rèn)真分析物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，把握平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，根據(jù)物理規(guī)律得出v的表達(dá)式，這是常用的函數(shù)法．