Question

【題目】如圖所示，同軸圓形區(qū)域內(nèi)、外半徑分別為R1＝1 m、R2＝m，半徑為R1的圓內(nèi)分布著B1＝2.0 T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直于紙面向外；外面環(huán)形磁場(chǎng)區(qū)域分布著B2＝0.5 T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直于紙面向內(nèi)．一對(duì)平行極板豎直放置，極板間距d＝cm，右極板與環(huán)形磁場(chǎng)外邊界相切，一帶正電的粒子從平行極板左板P點(diǎn)由靜止釋放，經(jīng)加速后通過(guò)右板小孔Q，垂直進(jìn)入環(huán)形磁場(chǎng)區(qū)域．已知點(diǎn)P、Q、O在同一水平線上，粒子比荷4×107C/kg，不計(jì)粒子的重力，且不考慮粒子的相對(duì)論效應(yīng)．求：

(1) 要使粒子不能進(jìn)入中間的圓形磁場(chǎng)區(qū)域，粒子在磁場(chǎng)中的軌道半徑滿足什么條件？

(2) 若改變加速電壓大小，可使粒子進(jìn)入圓形磁場(chǎng)區(qū)域，且能豎直通過(guò)圓心O，則加速電壓為多大？

(3) 從P點(diǎn)出發(fā)開(kāi)始計(jì)時(shí)，在滿足第(2)問(wèn)的條件下，粒子到達(dá)O點(diǎn)的時(shí)刻．

Answer 1

【答案】(1) r1<1m. (2) U＝3×107V. (3) t=(6.1×10－8＋12.2×10－8k)s(k＝0，1，2，3，…)

【解析】

（1）畫(huà)出粒子恰好不進(jìn)入中間磁場(chǎng)區(qū)的臨界軌跡，先根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑；

（2）畫(huà)出使粒子進(jìn)入圓形磁場(chǎng)區(qū)域，且能豎直通過(guò)圓心O的軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求解半徑，然后根據(jù)洛倫茲力提供向心力列方程，再根據(jù)動(dòng)能定理對(duì)直線加速過(guò)程列方程，最后聯(lián)立方程組求解加速電壓；

（3）由幾何關(guān)系，得到軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角，求解粒子從Q孔進(jìn)入磁場(chǎng)到第一次到O點(diǎn)所用的時(shí)間，然后考慮周期性求解粒子到達(dá)O點(diǎn)的時(shí)刻．

(1) 粒子剛好不進(jìn)入中間磁場(chǎng)時(shí)軌跡如圖所示，設(shè)此時(shí)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為r1，在Rt△QOO1中有r12＋R22＝(r1＋R1)2

代入數(shù)據(jù)解得r1＝1m

粒子不能進(jìn)入中間磁場(chǎng)，所以軌道半徑r1<1m.

(2) 軌跡如圖所示，由于O、O3、Q共線且水平，粒子在兩磁場(chǎng)中的半徑分別為r2、r3，洛倫茲力不做功，故粒子在內(nèi)外磁場(chǎng)的速率不變，由qvB＝m

得r＝

易知r3＝4r2

且滿足(r2＋r3)2＝(R2－r2)2＋r32

解得r2＝m，r3＝m

又由動(dòng)能定理有qU＝mv2

代入數(shù)據(jù)解得U＝3×107V.

(3)帶電粒子從P到Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t1，則t1滿足v t1＝d

得t1＝10－9s

令∠QO2O3＝θ，所以cosθ＝0.8，θ＝37°(反三角函數(shù)表達(dá)亦可)

圓周運(yùn)動(dòng)的周期T＝

故粒子從Q孔進(jìn)入磁場(chǎng)到第一次到O點(diǎn)所用的時(shí)間為

考慮到周期性運(yùn)動(dòng)，t總＝t1＋t2＋k(2t1＋2t2)＝(6.1×10－8＋12.2×10－8k)s(k＝0，1，2，3，…)．