Question

3．如圖所示，在寬度d=0.2m的空間區(qū)域范圍內(nèi)存在方向豎直向上、場(chǎng)強(qiáng)大小為E=0.2N/C的勻強(qiáng)電場(chǎng)和方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)；質(zhì)量為M=0.2kg、帶電量q=+10C的小球放在平臺(tái)邊緣上，質(zhì)量m=0.1kg、長(zhǎng)度L=$\frac{0.2}{π}$m的絕緣平板車以速度v₀=3m/s水平向右運(yùn)動(dòng)，與小球發(fā)生彈性正碰，小球在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)后從左邊界離開；忽略一切摩擦，小球落在地面時(shí)不會(huì)反彈，取g=10m/s²，π²=10．
（1）求碰撞后平板車的速度大小v₁；
（2）若小球在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，求磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B₀；
（3）若要讓小球落在平板車上，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小范圍．

Answer 1

分析 （1）由題設(shè)平板車與小球發(fā)生彈性正碰，由動(dòng)量定理和動(dòng)能守恒列出二元二次方程，從而求出平板車碰撞后速度的大小和方向．
（2）小球進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)后受三個(gè)力作用，但重力與電場(chǎng)力恰好相等，所以小球在復(fù)合場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由于運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，則小球運(yùn)動(dòng)軌跡恰與右邊界相切，由幾何關(guān)系求出在復(fù)合場(chǎng)中的半徑，由洛侖茲力提供向心力求出磁感應(yīng)強(qiáng)度大�。�
（3）在磁場(chǎng)中旋轉(zhuǎn)半周后帶電小球在重力作用下做平拋運(yùn)動(dòng)，若要小球落在車上，必從兩種極端去考慮，即落在平板車的右端和左端，兩者的區(qū)別在于帶電小球的水平位移相差一個(gè)車長(zhǎng)．由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律及等時(shí)性，能求出兩種情況下磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小．

解答 解：（1）兩者碰撞系統(tǒng)動(dòng)量守恒，碰撞前后動(dòng)能不變，有
  mv₀=Mv+mv₁ ①
  $\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$Mv²+$\frac{1}{2}$mv₁² ②
解得v₁=-1 m/s，負(fù)號(hào)表示碰撞后車向左運(yùn)動(dòng)      ③
（2）由（1）解得小球速度v=2 m/s     ④
 在復(fù)合場(chǎng)中，受電場(chǎng)力、重力、洛倫茲力三力作用
 電場(chǎng)力F=qE=2N      ⑤
 重力G=Mg=2N        ⑥
 可見電場(chǎng)力與重力平衡，受洛侖茲力作用，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
 設(shè)運(yùn)動(dòng)最大半徑為R，依題意有R=d      ⑦
 洛倫茲力提供向心力有 qvB₀=M $\frac{{v}^{2}}{R}$      ⑧
 解得B₀=0.2T     ⑨
（3）小球在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t₁=$\frac{1}{2}$T=$\frac{πm}{qB}$ ⑩
 離開復(fù)合場(chǎng)時(shí)離地高度h=2R⑪
 之后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)水平距離為s₀，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₂，有
   s₀=vt₂ ⑫
    h=gt₂² ⑬
設(shè)兩者碰后至球落在車右端的過程中，車的位移為s₁，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，
則有t=t₁+t₂ ⑭
     s₁=v₁t⑮
     s₁=s₀
  聯(lián)立解得B=0.25T⑯
  若球落在車的左端，設(shè)車的位移為s₂，則有
    s₂=v₁t
    s₂+L=s₀ ⑰
  聯(lián)立解得B=1T⑱
  故B的取值范圍為0.25T≤B≤1T 
答：（1）求碰撞后平板車的速度大小v₁為1m/s，方向向左．
（2）若小球在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B₀至少為0.2T．
（3）若要讓小球落在平板車上，則磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小范圍是0.25T≤B≤1T．

點(diǎn)評(píng) 本題的難點(diǎn)在第三問：由于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小決定于帶電小球半徑的大小，所以小球在復(fù)合場(chǎng)中轉(zhuǎn)半圈后再做平拋運(yùn)動(dòng)，平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間由豎直位移2R決定，這兩段時(shí)間內(nèi)平板車以v1的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)，最后代入水平位移相等的關(guān)系式從而求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的兩種極端情況，從而確定范圍．