Question

（19分）如圖所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中有一粒子源，粒子源從O點(diǎn)在紙面內(nèi)均勻地向各個(gè)方向同時(shí)發(fā)射速率為υ，比荷為k的帶正電粒子.PQ是垂直紙面放置,厚度不計(jì)的擋板，擋板的P端與O點(diǎn)的連線跟擋板垂直，粒子打在擋板上會(huì)被吸收。帶電粒子的重力及粒子間的相互作用力忽略不計(jì)，磁場(chǎng)分布的區(qū)域足夠?qū)拸V。 

（1）為了使帶電粒子不打在擋板上，粒子源到擋板的距離d應(yīng)滿足什么條件？
（2）若粒子源到擋板的距離d=，則擋板至少多長(zhǎng)，擋板吸收的粒子數(shù)占總粒子數(shù)的比值最大，并求該值。

Answer 1

      5:12.

試題分析：（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)粒子只受洛倫茲力時(shí)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，題中源向各個(gè)方向發(fā)射粒子，則粒子的分布區(qū)域?yàn)橐粤Ｗ釉礊閳A心，圓周運(yùn)動(dòng)是直徑為半徑的圓形區(qū)域，故要是粒子不打在板上，板離粒子源的距離應(yīng)大于，區(qū)域半徑。（2）根據(jù)第一問中求出的粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，與粒子源到擋板距離間的關(guān)系可判斷出吸收粒子最多時(shí)擋板的長(zhǎng)度，以及打在板上的粒子發(fā)射角度范圍，角度范圍與圓周角2π的比值即為擋板吸收的粒子數(shù)占總粒子數(shù)的比值。
（1）設(shè)帶電粒子的質(zhì)量為m，電量為q，粒子在磁場(chǎng)中受到的洛倫茲力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，設(shè)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，有：
①（2分）
粒子能打在擋板上的臨界情形如圖a所示，所以粒子不打在擋板上，d應(yīng)滿足：d>2r      ②（2分）
由①②式并代入數(shù)據(jù)可得:    （2分）

（2）在擋板左側(cè)，能打到擋板上部最遠(yuǎn)點(diǎn)的粒子軌跡恰好和擋板相切，如圖b中的軌跡1所示
由①式及已知數(shù)據(jù)知粒子的軌跡半徑r=="OP"      ③（2分）

可知：PN=      ④（2分）
軌跡1是初速度方向沿OP方向的粒子軌跡
設(shè)粒子初速度方向與OP成θ角，如圖b所示，隨著θ角從0開始增大，粒子打在擋板上的點(diǎn)從N點(diǎn)逐漸下移，當(dāng)粒子剛好通過P點(diǎn)時(shí)，粒子開始打在擋板的右側(cè)，設(shè)此時(shí)打在擋板上的點(diǎn)為M，如圖b中軌跡2，在△OPM中，由幾何關(guān)系可知：
PM= ⑤（1分）
由③⑤得PM=      （1分）
當(dāng)θ角繼續(xù)增大，粒子打在擋板上的點(diǎn)從M點(diǎn)逐漸下移至P點(diǎn)，設(shè)此時(shí)如圖b中軌跡3，由幾何關(guān)系可知此時(shí)
θ=    ⑥（2分）
由以上分析可知，擋板長(zhǎng)度至少等于，擋板吸收的粒子數(shù)與總粒子數(shù)比值最大（2分），
擋板吸收的粒子數(shù)與總粒子數(shù)最大比值η=        ⑦（1分）
由⑥⑦式可得最大比值η=5:12.  （2分）