Question

13．如圖所示，半徑R=4m的光滑圓弧軌道BCD與足夠長(zhǎng)的傳送帶DE在D處平滑連接，O為圓弧軌道BCD的圓心，C點(diǎn)為圓弧軌道的最低點(diǎn)，半徑OB、OD與OC的夾角分別為53°和37°．傳送帶以2m/s的速度沿順時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，將一個(gè)質(zhì)量m=0.5kg的煤塊（視為質(zhì)點(diǎn)）從B點(diǎn)左側(cè)高為h=0.8m處的A點(diǎn)水平拋出，恰從B點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入圓弧軌道．已知煤塊與軌道DE間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，重力加速度g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）煤塊水平拋出時(shí)的初速度大小v₀；
（2）煤塊第一次到達(dá)圓弧軌道BCD上的D點(diǎn)對(duì)軌道的壓力大小；
（3）煤塊第一次離開(kāi)傳送帶前，在傳送帶DE上留下痕跡可能的最長(zhǎng)長(zhǎng)度．（結(jié)果保留2位有效數(shù)字）

Answer 1

分析 （1）物體做平拋運(yùn)動(dòng)，由自由落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出物體落在A時(shí)的豎直分速度，然后應(yīng)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解求出物體的初速度大小v₀．
（2）通過(guò)計(jì)算分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，由動(dòng)能定理求出物體在D點(diǎn)的速度，然后根據(jù)牛頓第二定律求出物體對(duì)圓弧軌道壓力大小F_N；
（3）先分析煤塊的運(yùn)動(dòng)情況，再根據(jù)牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式求解．

解答 解：（1）物體在拋出后豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，豎直方向有：${v}_{y}=\sqrt{2gh}=\sqrt{2×10×0.8}=4m/s$
物體恰從A點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入圓弧軌道，則：$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=tan53°$
得：${v}_{0}=\frac{{v}_{y}}{tan53°}=\frac{4}{\frac{4}{3}}=3m/s$
（2）煤塊在A→D的過(guò)程中由動(dòng)能定理：$mg（h+Rcos37°-Rcos53°）=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
在D點(diǎn)由牛頓第二定律：${F}_{ND}-mgcos37°=m\frac{{{v}_{D}}^{2}}{R}$
解得：${v}_{D}=\sqrt{41}m/s$，F(xiàn)_ND=9.125N，
又有牛頓第三定律知在D點(diǎn)對(duì)軌道的壓力大小為9.125N
（3）因${v}_{D}=\sqrt{41}m/s＞{v}_{帶}=2m/s$
所以，煤塊先沿傳送帶向上做勻減速運(yùn)動(dòng)，然后做勻變速運(yùn)動(dòng)返回，設(shè)總時(shí)間為t．
在沿傳送帶向上勻減速由牛頓第二定律：mgsin37°+μmgcos37°=ma₁，
后面的勻變速階段由牛頓第二定律：mgsin37°-μmgcos37°=ma₂，
解得：${a}_{1}=10m/{s}^{2}$，${a}_{2}=2m/{s}^{2}$
對(duì)煤塊從滑上到滑下傳送帶有運(yùn)動(dòng)學(xué)公式：$\frac{{{v}_{D}}^{2}-{{v}_{帶}}^{2}}{2{a}_{1}}+\frac{{{v}_{帶}}^{2}}{2{a}_{2}}$=$\frac{1}{2}{a}_{2}（t-\frac{{v}_{D}-{v}_{帶}}{{a}_{1}}-\frac{{v}_{帶}}{{a}_{2}}）^{2}$
解得：t≈0.44+1+1.69=3.13s，
由題意可知，當(dāng)傳送帶最前沿的痕跡與最后痕跡不重疊時(shí)，痕跡最長(zhǎng)，此時(shí)有：
s=${v}_{帶}t+\frac{（{v}_{D}-{v}_{帶}）^{2}}{2{a}_{1}}$=7.2m
答：（1）煤塊水平拋出時(shí)的初速度大小v₀為3m/s；
（2）煤塊第一次到達(dá)圓弧軌道BCD上的D點(diǎn)對(duì)軌道的壓力大小為9.125N；
（3）煤塊第一次離開(kāi)傳送帶前，在傳送帶DE上留下痕跡可能的最長(zhǎng)長(zhǎng)度為7.2m．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)情況，然后根據(jù)動(dòng)能定理、平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)、牛頓第二定律解題，第三問(wèn)中要最知道當(dāng)傳送帶最前沿的痕跡與最后痕跡不重疊時(shí)，痕跡最長(zhǎng)，難度適中．