Question

如圖所示，建筑工地常用的一種“深穴打夯機(jī)”工作時(shí)，電動機(jī)帶動兩個(gè)緊壓夯桿的滾輪勻速轉(zhuǎn)動將夯從深為h的坑中提到地面，兩個(gè)滾輪彼此分開，夯桿被釋放，最后夯在自身重力作用下，落回深坑，夯實(shí)坑底，然后，兩個(gè)滾輪再次壓緊夯桿，夯再次被提到地面，如此周而復(fù)始．已知兩個(gè)滾輪的半徑R=0.2m，轉(zhuǎn)動的角速度ω=20rad/s，每個(gè)滾輪對夯桿的正壓力FN=2×104N，滾輪與夯桿間的動摩擦因數(shù)μ=0.3，夯的總質(zhì)量m=1×10³kg，坑深h=6.4m，假定在打夯的過程中每次坑的深度變化不大，當(dāng)夯的底端升到坑口時(shí)，滾輪將夯桿釋放，不計(jì)空氣阻力，取g=10m/s²，求：
（1）夯桿被滾輪壓緊加速上升至與滾輪速度相等時(shí)，此時(shí)夯的底端離坑底的高度h₁；
（2）夯的運(yùn)動周期T；
（3）每個(gè)周期中，提升夯的過程中電動機(jī)所做的功W．

Answer 1

（1）滾輪線速度v=ωR=4.0m/s…①
夯加速上升過程中，(2μFN-mg)h1=

1

2

mv2…②
得，h1=

mv2

2(2μFN-mg)

=4.0m…③
（2）設(shè)夯加速時(shí)間為t₁，則由動量定理得
   （2μF_N-mg）t₁=mv…④
得t1=

mv

2μFN-mg

=2.0s…⑤
夯勻速上升時(shí)間t2， t2=

h-h1

v

=0.6s…⑥
夯離開坑口上升到最大高度時(shí)間t3=

v

g

=0.4s…⑦
夯離開坑口上升的最大高度h2=

v2

2g

=0.8m…⑧
夯從最高點(diǎn)自由下落到坑底時(shí)間t4=

2(h+h2) g

=1.2s…⑨
夯的運(yùn)動周期T=t₁+t₂+t₃+t₄=4.2s…⑩
（3）夯加速上升過程中，夯桿與滾輪摩擦產(chǎn)生的熱量Q=2μFN(v-

v

2

)t1=4.8×104J…（11）
夯從坑底提升到地面，夯的機(jī)械能增加量△E=

1

2

mv2+mgh=7.2×104J…（12）
每個(gè)周期中，提升夯的過程中電動機(jī)所做的功W=Q+△E=1.2×10⁵J…（13）
答：
（1）夯桿被滾輪壓緊加速上升至與滾輪速度相等時(shí)，此時(shí)夯的底端離坑底的高度h₁=4m．
（2）夯的運(yùn)動周期T=4.2s；
（3）每個(gè)周期中，提升夯的過程中電動機(jī)所做的功W=1.2×10⁵J．