Question

19．如圖所示為自動灌溉的噴射裝置的截面圖．主要由水泵、豎直細(xì)輸水管和噴頭組成．噴頭的噴嘴離地面高度為h，噴嘴的長度為r，水泵啟動后，水從水池通過輸水管壓到噴嘴并沿水平方向噴出，在地面上的落點(diǎn)與輸水管道中心的水平距離為R，此時(shí)噴嘴每秒中噴出的水的質(zhì)量為m₀，忽略水池中水泵與地面的高度差，不計(jì)水進(jìn)入水泵時(shí)的速度以及空氣阻力，重力加速度為g．
（1）求水從噴嘴噴出時(shí)的速度v和水泵的輸出功率p；
（2）若要澆灌離輸出管道中心2R處的蔬菜，求此時(shí)水泵的輸出功率p₁．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平拋運(yùn)動在水平方向做勻速直線運(yùn)動，在豎直方向上做自由落體運(yùn)動，求出水從噴嘴噴出時(shí)的速率．水泵所做的功與效率的乘積等于水動能和重力勢能的增加，根據(jù)能量守恒求出水泵的功率P．
（3）根據(jù)平拋運(yùn)動的規(guī)律求出平拋運(yùn)動的初速度，從而通過密度公式，求出單位時(shí)間內(nèi)噴出水的質(zhì)量．根據(jù)能量守恒求出水泵的功率P₁．

解答 解：（1）水從噴嘴噴出后作平拋運(yùn)動，則
R-r=vt，$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得：$v=（R-r）\sqrt{\frac{g}{2h}}$
設(shè)在△t時(shí)間內(nèi)出水質(zhì)量為m，由功能關(guān)系有$P△t=\frac{1}{2}m{v}^{2}+mgh$
且有  ${m}_{0}=\frac{m}{△t}$
解得  $P=\frac{{m}_{0}g[（{R-r）}^{2}+4{h}^{2}]}{4h}$
（2）設(shè)水的密度為ρ，速度為v₁，噴嘴的橫截面積為S，則m₀=ρSv，m₁=ρSv₁
由平拋運(yùn)動有 2R-r=v₁t，$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
由${P}_{1}△t=\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{1}}^{2}+{m}_{1}gh$
解得  ${P}_{1}={m}_{0}g\frac{（2R-r）}{（R-r）}[h+\frac{（2R-r）^{2}}{4h}]$
答：（1）水從噴嘴噴出時(shí)的速度為$（R-r）\sqrt{\frac{g}{2h}}$，水泵的輸出功率為$\frac{{m}_{0}g[{（R-r）}^{2}+4{h}^{2}]}{4h}$；
（2）若要澆灌離輸出管道中心2R處的蔬菜，此時(shí)水泵的輸出功率為${m}_{0}g\frac{（2R-r）}{（R-r）}[h+\frac{{（2R-r）}^{2}}{4h}]$．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵知道平拋運(yùn)動在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動規(guī)律．以及能夠靈活運(yùn)用能量守恒定律進(jìn)行求解．