Question

6．真空中有一半徑為R的半球形玻璃磚，截面如圖所示，兩條很細的平行單色光束a和b從半球的左、右兩側(cè)沿半球的底面上的一條直徑向球心移動，光束始終與玻璃磚的底面垂直，玻璃磚對單色光a和b的折射率分別為為n₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$和n₂=2，一旦光束到某一位置恰好從玻璃磚的球面射出（不考慮光在玻璃磚中的多次反射后再射出球面）即停止移動．將此時a、b入射點分別記為P、Q（圖中未畫出）求：
①PQ的距離d．
②現(xiàn)讓單色光束a和b分別從P、Q兩點同時垂直入射，已知真空中光速為c，求兩束光到達相交位置的時間差△t．

Answer 1

分析 ①由sinC=$\frac{1}{n}$求出兩束光的臨界角，由題意知道a、b兩光束射到半球圓弧上時入射角等于臨界角，由幾何知識求解兩細束單色光a和b的距離d；
②由v=$\frac{c}{n}$求出光在半球中傳播的速度，由幾何知識求出光在半球內(nèi)、外傳播的距離，即可求得各自傳到交點的時間，從而得到時間差．

解答 解：①設(shè)單色光束a和b在玻璃磚中全反射的臨界角分別為C₁和C₂．
對單色光a，若從P處入射時恰好從玻璃磚半球面O₁射出，則：
  sinC₁=$\frac{1}{{n}_{1}}$
得臨界角為：C₁=60°
對單色光b，若從Q處入射時恰好從玻璃磚半球面O₂射出，則：
  sinC₂=$\frac{1}{{n}_{2}}$
得臨界角：C₂=30°  
由幾何知識得：d=OP+OQ=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$R   
②設(shè)從球面射出的兩單色光相交于O₃，光路如圖所示，由于OO₁=OO₂=R 且OO₁⊥OO₂，故OO₁O₃O₂為正方形    
a光路徑為PO₁O₃，b光路徑為PO₂O₃，傳播形成時間差為：
△t=$\frac{Q{O}_{2}}{\frac{c}{{n}_{2}}}$-$\frac{P{O}_{1}}{\frac{c}{{n}_{1}}}$=$\frac{2\sqrt{3}R}{3c}$
答：
①PQ的距離d是$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$R．
②兩束光到達相交位置的時間差△t是$\frac{2\sqrt{3}R}{3c}$．

點評 本題考查幾何光學的相關(guān)知識，對折射定律、全反射及臨界角的理解和應(yīng)用．要能靈活運用幾何知識求解相關(guān)角度和距離，要作出光路圖幫助解答．