Question

神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測(cè)雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.天文學(xué)家觀測(cè)河外星系大麥哲倫云時(shí)，發(fā)現(xiàn)了LMCX－3雙星系統(tǒng)，如圖所示，它由可見(jiàn)星A和不可見(jiàn)的暗星B構(gòu)成.兩星視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其他天體的影響，A、B圍繞兩者連線(xiàn)上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的距離保持不變.引力常量為G，由觀測(cè)能夠得到可見(jiàn)星 A的速率 v和運(yùn)行周期 T.

(1)可見(jiàn)星A所受暗星 B的引力 F_A 可等效為位于 O點(diǎn)處質(zhì)量為m′的星體(視為質(zhì)點(diǎn))對(duì)它的引力，設(shè)A和B的質(zhì)量分別為 m₁、m₂，試求m′. (用m₁、m₂ 表示)

(2)求暗星B的質(zhì)量m₂ 與可見(jiàn)星A的速率v、運(yùn)行周期T和質(zhì)量m₁ 之間的關(guān)系式.

(3)恒星演化到末期，如果其質(zhì)量大于太陽(yáng)質(zhì)量m_s 的2倍，它將有可能成為黑洞.若可見(jiàn)星A的速率v＝2.7×10⁵ m/s，運(yùn)行周期T＝4.7π×10⁴ s，質(zhì)量m₁＝6m_s，試通過(guò)估算來(lái)判斷暗星B有可能是黑洞嗎？ (G＝6.67×10^－11  N·m²/kg²，m_s＝2.0×10³⁰ kg)[2006年高考·天津理綜卷]

Answer 1

解析：(1)設(shè) A、B的圓軌道半徑分別為 r₁、 r₂ ，由題意知，A、B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度相同，設(shè)其為ω.由牛頓運(yùn)動(dòng)定律，有：

F_A＝m₁ ω²r₁

F_B＝m₂ω²r₂

F_A＝F_B

設(shè)A、B之間的距離為r，又r＝r₁＋r₂，由上述各式得：

r＝r₁

由萬(wàn)有引力定律，有：

F_A＝G

聯(lián)立解得：F_A＝G

令F_A＝G

比較可得：m′＝.

　　(2)由牛頓第二定律，有：

 G＝m₁

可見(jiàn)星A的軌道半徑r₁＝

將m′代入，可解得：＝.

(3)將m₁＝6m_s代入上式，得：

＝

代入數(shù)據(jù)得：＝3.5m_s

設(shè)m₂＝nm_s(n>0)，可得：

＝m_s＝3.5m_s

可見(jiàn)，的值隨n的增大而增大，試令n＝2，得：

m_s＝0.125m_s<3.5m_s

故n必大于2，即暗星B的質(zhì)量m₂必大于2m_s.由此得出結(jié)論：暗星B有可能是黑洞.

　　答案：(1)　(2)＝

(3)有可能