Question

14．在現(xiàn)代科學(xué)實(shí)驗(yàn)室中，經(jīng)常用磁場來控制帶電粒子的運(yùn)動．某儀器的內(nèi)部結(jié)構(gòu)簡化如圖：寬度為L的Ⅰ、Ⅱ兩處的條形勻強(qiáng)磁場區(qū)邊界豎直，相距也為L，磁場方向相反且垂直于紙面．一質(zhì)量為m、電量為-q（重力不計(jì)）的粒子以速度v平行于紙面射入Ⅰ區(qū)，射入時速度與水平方向夾角θ=30°．
（1）當(dāng)B₁=B₀時，粒子從Ⅰ區(qū)右邊界射出時速度與豎直邊界方向夾角為60°，求B₀及粒子在Ⅰ區(qū)運(yùn)動的時間t．
（2）若B₁=B₀，為使粒子經(jīng)Ⅱ區(qū)恰能返回Ⅰ區(qū)，則B₂與Ⅱ區(qū)的寬度x之間應(yīng)滿足什么函數(shù)關(guān)系？

Answer 1

分析 （1）畫出軌跡，由幾何知識求出半徑，根據(jù)牛頓定律求出B₀．找出軌跡的圓心角，求出時間．
（3）當(dāng)粒子在區(qū)域Ⅱ中軌跡恰好與右側(cè)邊界相切時，粒子恰能返回Ⅰ區(qū)．由幾何知識求出半徑，由牛頓定律求出B₂滿足的條件．

解答 解：（1）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，粒子運(yùn)動軌跡如圖所示：

由幾何知識得：L=2R₁sinθ，
由牛頓第二定律得：qvB₀=m $\frac{{v}_{\;}^{2}}{{R}_{1}^{\;}}$，
解得：B₀=$\frac{mv}{qL}$；
設(shè)粒子在磁場Ⅰ區(qū)中做圓周運(yùn)動的周期：T=$\frac{2π{R}_{1}^{\;}}{v}$=$\frac{2πL}{v}$，
粒子的運(yùn)動的時間：t=$\frac{2θ}{360°}$T=$\frac{2×30°}{360°}$T=$\frac{πL}{3v}$；
（2）粒子恰好能能返回1區(qū)時的運(yùn)動軌跡如圖所示：

為使粒子能再次回到Ⅰ區(qū)，應(yīng)滿足：
R₂（1+sinθ）≤x，
由牛頓第二定律得：qvB₂=m $\frac{{v}_{\;}^{2}}{{R}_{2}^{\;}}$，
由題意可知：B₂=B₁=B₀，解得：B₂≥$\frac{3mv}{2qx}$；
答：（1）當(dāng)1區(qū)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B₁=B₀時，粒子從1區(qū)右邊界射出時速度與豎直邊界方向夾角為60°，B₀為 $\frac{mv}{qL}$，粒子在Ⅰ區(qū)運(yùn)動的時間t為 $\frac{πL}{3v}$．
（2）若B₁=B₀，為使粒子能返回1區(qū)，B₂應(yīng)滿足的條件是B₂≥$\frac{3mv}{2qx}$．

點(diǎn)評 本題考查了粒子在磁場中的運(yùn)動，分析清楚粒子運(yùn)動過程、作出粒子運(yùn)動軌跡是解題的關(guān)鍵；本題的難點(diǎn)在于分析臨界條件，粒子恰好穿出磁場時，其軌跡往往與邊界相切．