Question

5．如圖所示，無限長金屬導(dǎo)軌EF、PQ固定在傾角為θ=37°的光滑絕緣斜面上，軌道間距L=1m，底部接入一阻值為R=0.06Ω的定值電阻，上端開口．垂直斜面向上的勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B_o=2T．一質(zhì)量為m=2kg的金屬棒ab與導(dǎo)軌接觸良好，ab與導(dǎo)軌間動摩擦因數(shù)μ=0.5，ab連入導(dǎo)軌間的電阻r=0.04Ω，電路中其余電阻不計(jì)．現(xiàn)用一質(zhì)量為M=6kg的物體通過一不可伸長的輕質(zhì)細(xì)繩繞過光滑的定滑輪與ab相連．開始時(shí)ab桿位于EP處，由靜止釋放M，當(dāng)M下落高度h=2.0m時(shí)，ab開始勻速運(yùn)動（運(yùn)動中ab始終垂直導(dǎo)軌，并接觸良好）．不計(jì)空氣阻力，sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s²．求：
（1）ab棒沿斜面向上運(yùn)動的最大速度v_m；
（2）ab棒從開始運(yùn)動到勻速運(yùn)動的這段時(shí)間內(nèi)電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q_R；
（3）若將重物下降h時(shí)的時(shí)刻記作t=0，從此時(shí)刻起，磁感應(yīng)強(qiáng)度發(fā)生變化，使金屬桿中恰好不產(chǎn)生感應(yīng)電流，則B與t應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系式？

Answer 1

分析 （1）由靜止釋放M，ab棒先向上做加速運(yùn)動，隨著速度增大，產(chǎn)生的感應(yīng)電流增大，所受的安培力增大，加速度減小，當(dāng)加速度為零時(shí)做勻速運(yùn)動，速度達(dá)到最大值．根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律推導(dǎo)出安培力與速度的關(guān)系式，結(jié)合平衡條件求解最大速度v_m．
（2）在ab棒從開始運(yùn)動到勻速運(yùn)動的過程中，系統(tǒng)的重力勢能減小，轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)增加的動能、焦耳熱和摩擦生熱，根據(jù)能量守恒求出總的焦耳熱，再由焦耳定律求電阻R上產(chǎn)生的熱量．
（3）金屬桿中恰好不產(chǎn)生感應(yīng)電流時(shí)，不受安培力，ab桿和M均做勻加速運(yùn)動，此時(shí)abPE回路的磁通量不變，由此列式求解．

解答 解：（1）由題意知，由靜止釋放M后，ab棒在繩拉力T、重力mg、安培力F和軌道支持力N及摩擦力f共同作用下做沿軌道向上做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動直至勻速運(yùn)動，勻速運(yùn)動達(dá)到最大速度，由平衡條件有：
  T-mgsinθ-F-f=0…①
  N-mgcosθ=0…②
  T=Mg…③
又由摩擦力公式得  f=μN(yùn)…④
ab所受的安培力  F=B₀IL…⑤
回路中感應(yīng)電流 I=$\frac{{B}_{0}L{v}_{m}}{R+r}$…⑥
聯(lián)解①②③④⑤⑥并代入數(shù)據(jù)解得：
最大速度 v_m=1m/s…⑦
（2）由能量守恒定律知，系統(tǒng)的總能量守恒，即系統(tǒng)減少的重力勢能等于系統(tǒng)增加的動能、焦耳熱及摩擦而轉(zhuǎn)化的內(nèi)能之和，有：
  Mgh-mghsinθ=$\frac{1}{2}$（M+m）${v}_{m}^{2}$+Q+fh…⑧
電阻R產(chǎn)生的焦耳熱  Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q…⑨
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和閉合電路歐姆定律有：
 聯(lián)解⑧⑨并代入數(shù)據(jù)得：Q_R=45.6J
（3）金屬桿中恰好不產(chǎn)生感應(yīng)電流時(shí)，不受安培力，ab桿和M均做勻加速運(yùn)動，設(shè)加速度大小為a．
根據(jù)牛頓第二定律得 Mg-mgsinθ-μmgcosθ=（M+m）a  …（10）
解得 a=5m/s²．
abPE回路的磁通量不變，則有 B₀Lh=BL（h+v_mt+$\frac{1}{2}a{t}^{2}$） …（11）
解得 B=$\frac{4}{2+t+2.5{t}^{2}}$ T
答：（1）ab棒沿斜面向上運(yùn)動的最大速度v_m是1m/s．
（2）ab棒從開始運(yùn)動到勻速運(yùn)動的這段時(shí)間內(nèi)電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q_R是45.6J．
（3）B與t應(yīng)滿足的關(guān)系式是B=$\frac{4}{2+t+2.5{t}^{2}}$T．

點(diǎn)評 本題有兩個(gè)關(guān)鍵：一是推導(dǎo)安培力與速度的關(guān)系；二是推導(dǎo)感應(yīng)電荷量q的表達(dá)式，對于它們的結(jié)果要理解記牢，有助于分析和處理電磁感應(yīng)的問題．