Question

6．如圖所示，是一小型發(fā)電站的一組發(fā)電線圈．勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B=$\frac{1}{π}$ T，匝數(shù)為N=50匝的矩形線圈，繞垂直于勻強(qiáng)磁場(chǎng)的轉(zhuǎn)軸OO′勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每匝線圈長(zhǎng)為L(zhǎng)=25cm，寬為d=20cm．線圈每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)3000轉(zhuǎn)，在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，從線圈平面經(jīng)過(guò)圖示位置時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)．
（1）寫(xiě)出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)e的瞬時(shí)值表達(dá)式．
（2）若每匝線圈本身電阻r=0.02Ω，外接一阻值為9Ω的用電器，使線圈與外電路組成閉合電路，求出線圈轉(zhuǎn)過(guò)60°的過(guò)程中通過(guò)R的電荷量．
（3）已知該發(fā)電站的最大輸出功率為100kW，輸出電壓恒為500V，現(xiàn)用電阻率為1.8×10^-8Ω•m，橫截面積為10^-5m²的輸電線向4×10³m遠(yuǎn)處的用戶輸電，要使發(fā)電機(jī)滿負(fù)荷運(yùn)行時(shí)，輸電線上的損失功率不超過(guò)發(fā)電機(jī)總功率的4%，試求理想升壓變壓器原、副線圈的匝數(shù)比．

Answer 1

分析 （1）由E=NBSω可求出最大感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，分析開(kāi)始計(jì)時(shí)的瞬間電動(dòng)勢(shì)，再由瞬時(shí)值表達(dá)式即可求出發(fā)電機(jī)的瞬間電動(dòng)勢(shì)E的表達(dá)式；
（2）根據(jù)q=$N\frac{△Φ}{{R}_{總}(cāng)^{\;}}$求出通過(guò)R的電荷量．
（3）發(fā)電機(jī)輸出功率是100kW，輸出電壓是500V，根據(jù)P=UI可計(jì)算出升壓變壓器原線圈的輸入電流I₁，在根據(jù)輸電線上的功率損失為4%，可計(jì)算出升壓變壓器副線圈的電流I₂，根據(jù)$\frac{{n}_{1}^{\;}}{{n}_{2}^{\;}}=\frac{{U}_{1}^{\;}}{{U}_{2}^{\;}}$即可求出升壓變壓器的匝數(shù)比；由題意可計(jì)算出用戶得到的功率，根據(jù)P=UI又可計(jì)算出降壓變壓器原線圈兩端的電壓，即可求出降壓變壓器的匝數(shù)比

解答 解：（1）線圈轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω=2πn=100πrad/s 
故E_m=NBSω=$50×\frac{1}{π}×0.25×0.2×100π$=250V
從圖示位置開(kāi)始計(jì)時(shí)，有e=E_mcosωt=250cos（100πt）V 
（2）若r=0.02Ω，則r′=50r=0.02×50Ω=1Ω，R_總=R+r′=9Ω+1Ω=10Ω  
平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)$\overline{E}=N\frac{△Φ}{△t}$
平均電流$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{{R}_{總}(cāng)^{\;}}$
感應(yīng)電量$q=\overline{I}△t$
聯(lián)立得$q=N\frac{△Φ}{{R}_{總}(cāng)^{\;}}=N×\frac{BSsin60°}{{R}_{總}(cāng)^{\;}}$
代入數(shù)據(jù)：$q=50×\frac{\frac{1}{π}×0.25×0.2}{10}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{40π}C$
（3）輸電要用兩根導(dǎo)線，則輸電線的電阻為r=ρ$\frac{2l}{S}$=1.8×10^-8×$\frac{2×4×1{0}_{\;}^{3}}{1{0}_{\;}^{-5}}$Ω=14.4Ω
由題意知P_損=P×4%=（$\frac{P}{{U}_{2}^{\;}}$）²r
10⁵×0.04=（$\frac{1{0}_{\;}^{5}}{{U}_{2}^{\;}}$）²×14.4
U₂=6 000 V
升壓變壓器原、副線圈匝數(shù)比
$\frac{{n}_{1}^{\;}}{{n}_{2}^{\;}}$=$\frac{{U}_{1}^{\;}}{{U}_{2}^{\;}}$=$\frac{500}{6000}$=$\frac{1}{12}$．
答：（1）感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)e的瞬時(shí)值表達(dá)式為e=250cos100πt（V）．
（2）線圈轉(zhuǎn)過(guò)60°的過(guò)程中通過(guò)R的電荷量為$\frac{5\sqrt{3}}{40π}C$．
（3）理想升壓變壓器原、副線圈的匝數(shù)比為1：12．

點(diǎn)評(píng) 正弦交變電流從中性面計(jì)時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的表達(dá)式為e=E_msinωt，垂直于中性面開(kāi)始計(jì)時(shí)，則其表達(dá)式為e=E_mcosωt，知道電流表和電壓表讀數(shù)是有效值，計(jì)算電量用平均值，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．