Question

9．如圖所示，匝數(shù)為100匝、面積為0.01m²的線圈，處于磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁為 $\frac{1}{π}$T的勻強(qiáng)磁場中．當(dāng)線圈繞O₁O₂以轉(zhuǎn)速n為300r/min勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，電壓表、電流表的讀數(shù)分別為7V、l　A．電動(dòng)機(jī)的內(nèi)阻r為1Ω，牽引一根原來靜止的、長L為1m、質(zhì)量m為0.2kg的導(dǎo)體棒MN沿軌道上升．導(dǎo)體棒的電阻R為1Ω，架在傾角為30°的框架上，它們處于方向與框架平面垂直、磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂為1T的勻強(qiáng)磁場中．當(dāng)導(dǎo)體棒沿軌道由靜止獲得穩(wěn)定速度，流過MN的電量為1.6C，這一過程中導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為1s．不計(jì)框架電阻及一切摩擦，g取10m/s²．求：

（1）若線圈從圖示位置轉(zhuǎn)過90°開始計(jì)時(shí)，寫出電動(dòng)勢的瞬時(shí)表達(dá)式；
（2）導(dǎo)體棒MN達(dá)到穩(wěn)定速度時(shí)流過MN的電流的大小和方向；
（3）導(dǎo)體棒MN從靜止至達(dá)到穩(wěn)定速度，導(dǎo)體棒MN上所產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）從線圈處于與中性面垂直開始計(jì)時(shí)，電動(dòng)勢的瞬時(shí)表達(dá)式e=E_mcosωt．而E_m=NB₁Sω，由此求解．
（2）導(dǎo)體棒MN的穩(wěn)定速度時(shí)有F=mgsinθ+B₂I′L，根據(jù)閉合電路的歐姆定律列方程，根據(jù)能量守恒和電功率計(jì)算公式聯(lián)立求出穩(wěn)定速度v，再求出電流強(qiáng)度，根據(jù)右手定則判斷電流方向．
（3）根據(jù)電荷量計(jì)算公式求解位移，再根據(jù)動(dòng)能定理和功能關(guān)系求解導(dǎo)體棒MN上所產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）線圈轉(zhuǎn)動(dòng)過程中電動(dòng)勢的最大值為E_m=NB₁Sω=NB₁S•2πn=$100×\frac{1}{π}×$0.01×$2×π×\frac{300}{60}$V=10V．
則線圈從中性面開始計(jì)時(shí)的電動(dòng)勢瞬時(shí)表達(dá)式為e=E_msinωt=10sin10πtV，
線圈從圖示位置轉(zhuǎn)過90°開始計(jì)時(shí)，則電動(dòng)勢瞬時(shí)表達(dá)式為e=E_mcosωt=10cos10πt V；
（2）棒達(dá)到穩(wěn)定速度時(shí)，電動(dòng)機(jī)的電流I=1A
電動(dòng)機(jī)的輸出功率P_出=UI-I²r=（7×1-1²×1）W=6W；
又P_出=Fv，
根據(jù)平衡條件可得F=mgsinθ+B₂I′L
而棒產(chǎn)生的感應(yīng)電流I$′=\frac{E}{R}$=$\frac{{B}_{2}Lv}{R}$，
由以上各式代入數(shù)值，得棒的穩(wěn)定速度v=2m/s；
根據(jù)電流I′=2A，根據(jù)右手定則可知電流方向M→N．
（3）設(shè)金屬棒達(dá)到穩(wěn)定速度過程中的位移為x，根據(jù)電荷量的計(jì)算公式q=$\overline{I}t=\frac{△Φ}{R}=\frac{{B}_{2}Lx}{R}$，
解得：x=1.6m；
對導(dǎo)體棒根據(jù)動(dòng)能定理可得：P_出t-mgsinθ•x-W_A=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-0，
所以克服安培力做的功W_A=4J；
根據(jù)功能關(guān)系可得導(dǎo)體棒MN上所產(chǎn)生的熱量Q=W_A=4J．
答：（1）若線圈從圖示位置轉(zhuǎn)過90°開始計(jì)時(shí)，電動(dòng)勢的瞬時(shí)表達(dá)式為e=10cos10πt V；
（2）導(dǎo)體棒MN達(dá)到穩(wěn)定速度時(shí)流過MN的電流的大小為2A，方向M→N；
（3）導(dǎo)體棒MN從靜止至達(dá)到穩(wěn)定速度，導(dǎo)體棒MN上所產(chǎn)生的熱量為4J．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵掌握從線圈處于中性面開始計(jì)時(shí)，電動(dòng)勢的瞬時(shí)表達(dá)式e=E_msinωt以及峰值E_m=NB₁Sω．在該題中第（3）問較難，因?yàn)榘糇由仙�的過程為變加速運(yùn)動(dòng)，然后以穩(wěn)定速度運(yùn)動(dòng)．根據(jù)能量守恒，以及抓住發(fā)動(dòng)機(jī)的輸出功率不變進(jìn)行求解．