Question

如圖所示，A、B兩小球用輕桿連接，A球只能沿內(nèi)壁光滑的豎直滑槽運(yùn)動(dòng)，B球處于光滑水平面內(nèi)．開(kāi)始時(shí)桿豎直，A、B兩球靜止．由于微小的擾動(dòng)，B開(kāi)始沿水平面向右運(yùn)動(dòng)．已知A球的質(zhì)量與B球的質(zhì)量均為m=1kg，桿長(zhǎng)L為=0.2m．
（1）某同學(xué)用 mAgL=

1

2

mAv2+

1

2

mBv2…，求得A球著地時(shí)的速度．你認(rèn)為正確嗎？若正確，請(qǐng)接著進(jìn)行下面的計(jì)算；若不正確，請(qǐng)你給出正確的答案．
（2）A球機(jī)械能最小時(shí)，水平面對(duì)B球的支持力為多大？
（3）當(dāng)A球機(jī)械能最小時(shí)，桿與豎直方向夾角的余弦值為多大？

Answer 1

分析：（1）A、B兩球沿著桿方向的分速度相等；
（2）A球機(jī)械能最小時(shí)，B球機(jī)械能最大，故B球動(dòng)能最大，速度最大，處于平衡狀態(tài)，紫支持力和重力平衡；
（3）A、B兩球沿著桿方向的分速度相等，再根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式求解出B球速度表達(dá)式，再進(jìn)行分析并求解極值．

解答：解：（1）不準(zhǔn)確，因?yàn)锳球剛著地時(shí)，B球速度為零；
正確解法如下：設(shè)此時(shí)A球速度為v，由系統(tǒng)機(jī)械能守恒得：mAgL=

1

2

mAv2，解得v=

2gL

=2m/s；
（2）當(dāng)A球機(jī)械能最小時(shí)，B球速度最大，此時(shí)B球的加速度為零，則桿對(duì)球的作用力為零，設(shè)小球受到的支持力為N，對(duì)B球受力分析可得：
N=m_Bg=10N；
（3）設(shè)滿足題干條件時(shí)桿與豎直方向的夾角為θ，A、B兩球的速度各為v_A、v_B，系統(tǒng)滿足機(jī)械能守恒，則：
mAgL(1-cosθ)=

1

2

mA

v

2 A

+

1

2

mB

v

2 B

且v_A和v_B沿桿方向分速度大小相等，即v_Acosθ=v_Bsinθ
聯(lián)立以上兩式解得：vB=

2gL(1-cosθ)cos2θ

當(dāng)A球機(jī)械能最小時(shí)，v_B達(dá)最大
上式可以寫(xiě)成：
vB=

2gL(1-cosθ)cos2θ

=

gL(2-2cosθ)cosθ?cosθ

即當(dāng)cosθ=（2-2cosθ）時(shí)，v_B最大，亦即此時(shí)A球機(jī)械能最小，所以cosθ=

2

3

．
答：（1）解法不正確，A的速度為2m/s；
（2）A球機(jī)械能最小時(shí)，水平面對(duì)B球的支持力為10N；
（3）當(dāng)A球機(jī)械能最小時(shí)，桿與豎直方向夾角的余弦值為

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：該題突破口是系統(tǒng)機(jī)械能守恒（墻和地對(duì)球的彈力不做功），由繩物模型可知，B的速度沿桿方向的分速度等于桿的速度，越向下運(yùn)動(dòng)桿的速度越小，當(dāng)A剛要到地面時(shí)桿的速度為零．即B的速度為零．