Question

如圖所示，真空中有以（r，0）為圓心、半徑為r的圓柱形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向里，在y=r的上方足夠大的范圍內(nèi)，有方向水平向左的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度的大小為E，從O點(diǎn)向不同方向發(fā)射速率相同的質(zhì)子，質(zhì)子的運(yùn)動軌跡均在紙面內(nèi)．設(shè)質(zhì)子在磁場中的軌道半徑也為r，已知質(zhì)子的電量為e，質(zhì)量為m，不計重力及阻力的作用．求：
（1）質(zhì)子射入磁場時的速度大��；
（2）速度方向沿x軸正方向射入磁場的質(zhì)子，到達(dá)y軸所需的時間；
（3）速度方向與x軸正方向成30°角（如圖所示）射入磁場的質(zhì)子，到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)，并畫出質(zhì)子運(yùn)動軌跡的示意圖；
（4）質(zhì)子到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)的范圍．

Answer 1

分析：（1）、質(zhì)子射入磁場后將做勻速圓周運(yùn)動，此時洛倫茲力提供向心力，由向心力公式evB=

mv2

r

即可求得質(zhì)子射入磁場時的速度大�。�
（2）、速度方向沿x軸正方向射入磁場的質(zhì)子，在磁場中的運(yùn)動軌跡是

1

4

圓周，射出磁場后進(jìn)入電場做類平拋運(yùn)動，分別求出這兩段運(yùn)動的時間，再求和．
（3）、先對質(zhì)子在磁場中的運(yùn)動軌跡進(jìn)行分析，會發(fā)現(xiàn)質(zhì)子會以平行于y軸的方向離開磁場，質(zhì)子在磁場中的偏轉(zhuǎn)角是120°，并會垂直于電場的方向射入勻強(qiáng)電場，分別計算進(jìn)入電場前在y軸方向的位移和進(jìn)入電場后在y軸方向上的位移，即可得到到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)．
（4）、質(zhì)子最遠(yuǎn)的是從磁場右邊界向上直行，即進(jìn)入電場時距y軸的距離是2r，根據(jù)類平拋移動的知識求出在電場中運(yùn)動時沿y軸的位移，即可求出質(zhì)子到達(dá)y軸最大坐標(biāo)．

解答：解：（1）質(zhì)子射入磁場后做勻速圓周運(yùn)動，有：
evB=

mv2

r

得：v=

eBr

m

（2）質(zhì)子沿x軸正向射入磁場后經(jīng)

1

4

圓弧后以速度v垂直于電場方向進(jìn)入電場，在磁場中運(yùn)動的時間  
 t1=

T

4

=

πm

2eB

進(jìn)入電場后做類平拋運(yùn)動，沿電場方向做勻加速直線運(yùn)動，運(yùn)動r后到達(dá)y軸，因此有：
t2=

2r a

=

2mr eg

到達(dá)y軸所需的時間為t=t₁+t₂=

πm

2eB

+

2mr eg

（3）質(zhì)子在磁場中轉(zhuǎn)過120°角后從P點(diǎn)垂直電場線進(jìn)入電場，在電場中做類平拋運(yùn)動，運(yùn)動軌跡如圖所示．
P點(diǎn)距y軸的距離為：
x₁=r+rsin30°=1.5r
可得質(zhì)子從進(jìn)入電場至到達(dá)y軸所需時間為：
t2=

2x1 a

=

3mr eE

質(zhì)子在電場中沿y軸方向做勻速直線運(yùn)動，因此有：
y′=vt2=Br

3er mE

質(zhì)子到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)為：
y=r+y′=r+Br

3er mE

 
即（0，r+Br

3er mE

）
（4）質(zhì)子最遠(yuǎn)的是從磁場右邊界向上直行，垂直進(jìn)入電場，固有：
Y=r+Br

4re Em

范圍是：（0，r+Br

4re Em

）
答：（1）質(zhì)子射入磁場時的速度大小為

eBr

m

．
（2）速度方向沿x軸正方向射入磁場的質(zhì)子，到達(dá)y軸所需的時間為

πm

2eB

+

2mr eg

．
（3）速度方向與x軸正方向成30°角（如圖所示）射入磁場的質(zhì)子，到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)為（0，r+Br

3er mE

）．
（4）質(zhì)子到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)的范圍為（0，r+Br

4re Em

）．

點(diǎn)評：該題是一道綜合性較強(qiáng)的題，主要是考察了帶電粒子在磁場和電場中的偏轉(zhuǎn)．該題確定質(zhì)子射出磁場的位置和方向是解決該題的關(guān)鍵，找圓心、畫軌跡是解題的基礎(chǔ)．帶電粒子垂直于磁場進(jìn)入一勻強(qiáng)磁場后在洛倫茲力作用下必作勻速圓周運(yùn)動，抓住運(yùn)動中的任兩點(diǎn)處的速度，分別作出各速度的垂線，則二垂線的交點(diǎn)必為圓心；或者用垂徑定理及一處速度的垂線也可找出圓心；再利用數(shù)學(xué)知識求出圓周運(yùn)動的半徑及粒子經(jīng)過的圓心角從而解答物理問題．