Question

20．跳臺滑雪起源于挪威，于1924年被列為首屆冬奧會比賽項目．某滑雪軌道如圖所示，其中BC段水平，光滑斜面CD與半徑為R 的光滑圓弧軌道相切于D點(diǎn)，P為圓弧軌道最低點(diǎn)，且∠POD=θ．A與B、D、P的高度差分別為h₁、h₂、h₃．一個質(zhì)量為m的滑雪運(yùn)動員從A點(diǎn)由靜止開始自由滑下，經(jīng)過C點(diǎn)水平滑出后恰好落在斜面CD的中點(diǎn)E 處，緊接著沿軌道繼續(xù)滑行，到達(dá)P點(diǎn)時所受軌道支持力大小為N，運(yùn)動員可視為質(zhì)點(diǎn)，不計空氣阻力，重力加速度大小為g．求：
（1）運(yùn)動員從C點(diǎn)運(yùn)動到E點(diǎn)的時間t及從C點(diǎn)飛出時的速度；
（2）運(yùn)動員到達(dá)D點(diǎn)時的動能E_k；
（3）運(yùn)動員在E點(diǎn)損失的機(jī)械能△E．

Answer 1

分析 （1）先由機(jī)械能守恒定律求出運(yùn)動員從C點(diǎn)飛出時的速度．從C點(diǎn)飛出后運(yùn)動員做平拋運(yùn)動，再根據(jù)豎直位移與水平位移之比等于tanθ，求運(yùn)動到E點(diǎn)的時間t．
（2）先由牛頓第二定律求出運(yùn)動員到達(dá)P點(diǎn)時的速度，再研究DP過程，由機(jī)械能守恒定律求運(yùn)動員到達(dá)D點(diǎn)時的動能E_k．
（3）由機(jī)械能守恒定律求出運(yùn)動員落在E點(diǎn)后瞬間的動能，由速度合成求出落在E點(diǎn)前瞬間的速度，得到動能，從而求出損失的機(jī)械能△E．

解答 解：（1）運(yùn)動員從A到C，由機(jī)械能守恒定律得：
mgh₁=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$，
得：v_C=$\sqrt{2g{h}_{1}}$
從C點(diǎn)飛出后運(yùn)動員做平拋運(yùn)動，斜坡CD的傾角等于θ，落在E點(diǎn)時有：
tanθ=$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{C}t}$
可得：t=$\frac{2tanθ\sqrt{2g{h}_{1}}}{g}$
（2）在P點(diǎn)，由牛頓第二定律得：
N-mg=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$
從D到P的過程，由機(jī)械能守恒定律有：
$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$-E_k=mgR（1-cosθ）
聯(lián)立解得：E_k=$\frac{1}{2}N$-mgR（$\frac{3}{2}-cosθ$）
（3）運(yùn)動員落在E點(diǎn)瞬間的速度為：
v_E=$\sqrt{{v}_{C}^{2}+（gt）^{2}}$=$\sqrt{2g{h}_{1}（1+4ta{n}^{2}θ）}$
E到D的過程，由機(jī)械能守恒定律得：mg$\frac{{h}_{2}-{h}_{1}}{2}$=E_k-E_kE
可得，運(yùn)動員落在E點(diǎn)后瞬間的動能為：
E_kE=$\frac{1}{2}N$-mgR（$\frac{3}{2}-cosθ$）-mg$\frac{{h}_{2}-{h}_{1}}{2}$
則運(yùn)動員在E點(diǎn)損失的機(jī)械能為：
△E=$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$-E_kE=mgh₁（1+4tan²θ）-$\frac{1}{2}N$+mgR（$\frac{3}{2}-cosθ$）+mg$\frac{{h}_{2}-{h}_{1}}{2}$
答：（1）運(yùn)動員從C點(diǎn)運(yùn)動到E點(diǎn)的時間是$\frac{2tanθ\sqrt{2g{h}_{1}}}{g}$，從C點(diǎn)飛出時的速度是$\sqrt{2g{h}_{1}}$；
（2）運(yùn)動員到達(dá)D點(diǎn)時的動能E_k是$\frac{1}{2}N$-mgR（$\frac{3}{2}-cosθ$）；
（3）運(yùn)動員在E點(diǎn)損失的機(jī)械能△E是mgh₁（1+4tan²θ）-$\frac{1}{2}N$+mgR（$\frac{3}{2}-cosθ$）+mg$\frac{{h}_{2}-{h}_{1}}{2}$．

點(diǎn)評 本題是多過程問題，分析清楚運(yùn)動員的運(yùn)動過程，把握每個過程的物理規(guī)律是關(guān)鍵．要明確運(yùn)動員落在斜面上時意味著位移方向與水平方向的夾角等于斜面的傾角，根據(jù)分位移關(guān)系求出時間．