Question

開普勒1609年一1619年發(fā)表了著名的開普勒行星運行三定律，其中第三定律的內(nèi)容是：所有行星的橢圓軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的平方的比值都相等．萬有引力定律是科學史上最偉大的定律之一，它于1687年發(fā)表在牛頓的《自然哲學的數(shù)學原理中》．
（1）請從開普勒行星運動定律等推導萬有引力定律（設(shè)行星繞太陽的運動可視為勻速圓周運動）；
（2）萬有引力定律的正確性可以通過“月-地檢驗”來證明：
如果重力與星體間的引力是同種性質(zhì)的力，都與距離的二次方成反比關(guān)系，那么，由于月心到地心的距離是地球半徑的60倍；月球繞地球做近似圓周運動的向心加速度就應該是重力加速度的1/3600．
試根據(jù)上述思路并通過計算證明：重力和星體間的引力是同一性質(zhì)的力（已知地球半徑為6.4×10⁶m，月球繞地球運動的周期為28天，地球表面的重力加速度為9.8m/s²）．

Answer 1

分析：行星繞太陽能做圓周運動，是由引力提供向心力來實現(xiàn)的．再由開普勒第三定律可推導出萬有引力定律．由圓周運動可算出向心加速度大小，再將月球做圓周運動的向心加速度與地球表面重力加速度進行比較，從而證明：重力和星體間的引力是同一性質(zhì)的力．

解答：解：（1）設(shè)行星的質(zhì)量為m，太陽質(zhì)量為M，行星繞太陽做勻速圓周運動的軌道半徑為R，公轉(zhuǎn)周期為T，太陽對行星的引力為F．
太陽對行星的引力提供行星運動的向心力F=m(

2π

T

)2R=

4π2mR

T2

根據(jù)開普勒第三定律

R3

T2

=K得T2=

R3

K

 
故F=

4π2mK

R2

根據(jù)牛頓第三定律，行星和太陽間的引力是相互的，太陽對行星的引力大小與行星的質(zhì)量成正比，反過來，行星對太陽的引力大小與也與太陽的質(zhì)量成正比．所以太陽對行星的引力
F∝

Mm

R2

寫成等式有 F=G

Mm

R2

（G為常量）．
（2）月球繞地球作圓周運動的向心加速度為an=

4π2

T2

r
∴an=2.59×10-3m/s2
月球做圓周運動的向心加速度與地球表面重力加速度的比為

an

g

=

2.59×10-3

9.8

≈

1

3600

所以，兩種力是同一種性質(zhì)的力．

點評：萬有引力定律通過理論進行科學、合理的推導，再由實際數(shù)據(jù)進行實踐證明，從而進一步確定推導的正確性．