Question

8．一輕彈簧下端栓接在傾角為θ的固定斜面底端，彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)上端位于斜面上的B點(diǎn)，B點(diǎn)以上光滑，B點(diǎn)到斜面底端粗糙，可視為質(zhì)點(diǎn)的物體質(zhì)量為m，以初速度v₀從A點(diǎn)沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，物體將彈簧壓縮到最短后恰能被彈回到B點(diǎn)．AB間距離為L(zhǎng)，物體與B點(diǎn)以下斜面的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，已知重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力，求此過(guò)程中：
（1）物體A向下運(yùn)動(dòng)剛到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大�。�
（2）彈簧的最大壓縮量x；
（3）彈簧的最大彈性勢(shì)能 （此小題答案中可保留x；彈簧勁度系數(shù)未知）．

Answer 1

分析 （1）對(duì)從最高點(diǎn)到第一次與彈簧接觸過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理列式求解即可；
（2）對(duì)從第一次接觸彈簧到第二次接觸彈簧過(guò)程直接運(yùn)用動(dòng)能定理列式求解；
（3）由A點(diǎn)開始到彈簧壓縮最短的過(guò)程，對(duì)物體運(yùn)用動(dòng)能定理即可求出彈簧的最大彈性勢(shì)能．

解答 解：（1）物體由A點(diǎn)開始剛好到B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，只有重力對(duì)物體做功，
根據(jù)動(dòng)能定理可得：mgLsinθ=$\frac{1}{2}$mv_B²-$\frac{1}{2}$mv₀²
由此可得物體滑到B點(diǎn)的速度：v_B=$\sqrt{2gLsinθ{+v}_{0}^{2}}$
（2）設(shè)彈簧最大壓縮量為x，在物體剛好接觸彈簧至恰好返回到B點(diǎn)的過(guò)程中，
由動(dòng)能定理得：-2μmgxcosθ=0-$\frac{1}{2}$mv_B²
可得彈簧的最大壓縮量：x=$\frac{2gLsinθ{+v}_{0}^{2}}{4μgcosθ}$
（3）物體由A點(diǎn)開始到彈簧壓縮最短的過(guò)程，
根據(jù)動(dòng)能定理可得：mg（L+x）sinθ-E_Pm-μmgxcosθ=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：E_Pm=mg（L+x）sinθ+$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-μmgxcosθ
答：（1）物體A向下運(yùn)動(dòng)剛到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大小為$\sqrt{2gLsinθ{+v}_{0}^{2}}$；
（2）彈簧的最大壓縮量x為$\frac{2gLsinθ{+v}_{0}^{2}}{4μgcosθ}$；
（3）彈簧的最大彈性勢(shì)能為mg（L+x）sinθ+$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-μmgxcosθ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)能定理的綜合運(yùn)用，解題關(guān)鍵是要靈活地選擇物理過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理列式求解，同時(shí)要明確彈簧彈力做的功等于彈性勢(shì)能的變化．