Question

6．如圖所示為某木材廠的木材傳送裝置，斜坡傾角為θ=30°，長(zhǎng)為L(zhǎng)=20m，斜坡上緊排著一排輕質(zhì)滾筒，工作時(shí)由電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)所有滾筒順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，滾筒邊緣的線速度均為v=5m/s，現(xiàn)將一塊長(zhǎng)為1=5m，質(zhì)量為m=20kg的木板輕輕放在輕質(zhì)滾筒上，其下端a位于斜坡底端，木板與滾筒間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，木板在滾筒帶動(dòng)下由靜止開(kāi)始沿斜坡向上移動(dòng)．假設(shè)關(guān)閉電動(dòng)機(jī)的瞬間所有滾筒立即停止轉(zhuǎn)動(dòng)．取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）木板從坡底開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，直到b端到達(dá)坡頂所需的最短時(shí)間；
（2）板從坡底開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，直到b端到達(dá)坡頂?shù)倪^(guò)程中電動(dòng)機(jī)對(duì)滾筒做功的最小值．

Answer 1

分析 （1）欲使木板b端到達(dá)坡頂所需要的時(shí)間最短，需要電動(dòng)機(jī)一直工作，則木板先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它的速度等于滾筒邊緣的線速度后，做勻速直線運(yùn)動(dòng)．由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求解．
（2）先對(duì)木板加速和減速階段受力分析，求出加速度，再對(duì)恰好滑到最高點(diǎn)的臨界情況運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和動(dòng)能定理結(jié)合列式求解．

解答 解：（1）木料開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：μmgcosθ-mgsinθ=ma₁ ②，
得：a₁=g（μcosθ-sinθ）=2.5 m/s²
木板做勻加速運(yùn)動(dòng)到速度與滾筒邊緣的線速度速度的時(shí)間：t₁=$\frac{v}{{a}_{1}}$=$\frac{5}{2.5}$s=2s
通過(guò)的位移：x₁=$\frac{v}{2}{t}_{1}$=$\frac{5}{2}×2$m=5m
要使b端到達(dá)坡頂所需要的時(shí)間最短，需要電動(dòng)機(jī)一直工作，木板先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它的速度等于滾筒邊緣的線速度后做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
木板做勻速直線運(yùn)動(dòng)的位移：x₂=L-l-x₁=20-5-5=10m
做勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t₂=$\frac{{x}_{2}}{v}$=$\frac{10}{5}$s=2s
所需最短時(shí)間 t=t₁+t₂=4s；
（2）最后一段運(yùn)動(dòng)關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，木板勻減速上升：μmgcosθ+mgsinθ=ma₂，
代入數(shù)據(jù)得：a₂=g（μcosθ+sinθ）=12.5 m/s²，
勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₃=$\frac{v}{{a}_{2}}$=$\frac{5}{12.5}$s=0.4s
勻減速運(yùn)動(dòng)的位移：x₃=$\frac{1}{2}$vt₃=$\frac{1}{2}×$5×0.4m=1m
勻速運(yùn)動(dòng)的位移 x₂′=L-l-x₁-x₃=20-5-5-1=9m
由動(dòng)能定理得：W_f-mg（x₁+x₂′）sinθ=$\frac{1}{2}$mv²；
代入數(shù)據(jù)求得；W_f=1650J
即電動(dòng)機(jī)對(duì)滾筒做功的最小值是1650J．
答：
（1）木板從坡底開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，直到b端到達(dá)坡頂所需的最短時(shí)間是4s；
（2）板從坡底開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，直到b端到達(dá)坡頂?shù)倪^(guò)程中電動(dòng)機(jī)對(duì)滾筒做功的最小值是1650J．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是對(duì)木塊受力分析，判斷其運(yùn)動(dòng)情況，再根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，然后運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式研究．