Question

如圖所示，在光滑絕緣水平面上平放著一內(nèi)壁光滑、絕緣的空心細(xì)管，管內(nèi)M端有一帶正電的小球P，在距離管的N端正右方2h的A₁處有另一不帶電的小球Q，在足夠大空間區(qū)域有豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度為B．現(xiàn)讓細(xì)管以垂直管長(zhǎng)方向的速度v₁水平向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)讓Q以某速度v₂從A₁點(diǎn)出發(fā)沿A₁A₂勻速運(yùn)動(dòng)，細(xì)管運(yùn)動(dòng)到A₁處時(shí)，A₁A₂與細(xì)管延長(zhǎng)線的夾角為45°．若小球P恰好在A處相對(duì)水平面以速度

2

v1離開(kāi)管的N端，一段時(shí)間后與Q相碰，試求：
（1）P的帶電量與質(zhì)量之比

q

m

的大��；
（2）v₂的大小．

Answer 1

分析：（1）小球P受到指向N端的洛倫茲力和向左的洛倫茲力，小球既隨管子向右勻速運(yùn)動(dòng)，又在洛倫茲力作用力下，沿管子向N端做勻加速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得到小球P到達(dá)N端時(shí)沿管方向的速度大小，與v₁的合速度等于

2

v1，聯(lián)立即可求出比荷．
（2）小球P離開(kāi)管后將在水平面上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度為

2

v1，由洛倫茲力提供向心力，可由牛頓第二定律求出半徑和周期，一段時(shí)間后P與Q相碰，分析時(shí)間與周期的關(guān)系，得到時(shí)間的通項(xiàng)，再求出v₂的大小．

解答：解：（1）設(shè)小球P的電量為q、質(zhì)量為m，P因參與v₁運(yùn)動(dòng)而受到指向N端的洛倫茲力，其值為：
f=qv₁B
P在管中的運(yùn)動(dòng)會(huì)使它受到另一個(gè)向左的洛倫茲力，此力被管壁施予P向右的力所抵消．P對(duì)應(yīng)有指向N端的加速度：
a=

f

m

=

qv1B

m

… ①
設(shè)P從M端到達(dá)N端t₁，沿管子方向的速度大小為u．
則：t₁=

2h

v1

…②
    u=at₁…③
則(

2

v1)2=u2+

v

2 1

…④
由③可得：u=v₁…⑤
由①②③⑤可得：

q

m

=

v1

2Bh

…⑥
（2）P離開(kāi)管后將在水平面上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)其速度為：v=

2

v1
由qvB=m

v2

r

得：
r=

mv

qB

=

2 mv1

qB

=2

2

h…⑦
周期T=

2πm

qB

…⑧
T=4π

h

v1

P恰好在A₁位置離開(kāi)管的N端，離開(kāi)管后最終只可能與Q在圖中S處相碰，Q從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到P相碰撞經(jīng)歷的時(shí)間為：
t=t₁+（n+

1

2

）T（n=0、1、2、3…）…⑨
在這段時(shí)間內(nèi)Q小球恰好走過(guò)2r的路程，則：
 v₂t=2r=4

2

h…⑩
解得：v₂=4

2

h

t

=

2 2 v1

1+(2n+1)π

…（11）
答：（1）P的帶電量與質(zhì)量之比

q

m

的大小為

v1

2Bh

；
（2）v₂的大小為4

2

h．

點(diǎn)評(píng)：本題的難點(diǎn)是求解小球離開(kāi)管子時(shí)速度，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解方法研究，另一個(gè)難點(diǎn)是兩球相遇時(shí)間的確定，要抓住圓周運(yùn)動(dòng)的周期性，列出時(shí)間的通項(xiàng)．