Question

10．將質(zhì)量m=1.24kg的圓環(huán)套在固定的桿上，桿AB段水平，BD段與水平面夾53°，環(huán)的直徑略大于桿的截面直徑，其中AB段環(huán)與桿的動摩擦因數(shù)為μ₁=0.8，BD段環(huán)與桿的動摩擦因數(shù)為μ₂=$\frac{1}{3}$，對環(huán)施加一位于豎直平面內(nèi)斜向上與桿夾角θ=53°的恒定拉力F，使圓環(huán)從A點(diǎn)靜止開始做勻加速直線運(yùn)動，經(jīng)2s內(nèi)前進(jìn)了8m到達(dá)B點(diǎn)．（取g=10m/s²，sin　53°=0.8，cos　53°=0.6）求：
（1）圓環(huán)加速度a的大�。�
（2）拉力F的大�。�
（3）若環(huán)沖上BD后立即撤去拉力F，經(jīng)一段時(shí)間后運(yùn)動到達(dá)C點(diǎn)，已知BC間距離為3m，求達(dá)到C點(diǎn)的時(shí)間．（AB段與BD段平滑連接，環(huán)在B點(diǎn)無速度損失）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)位移時(shí)間公式求得加速度；
（2）對環(huán)受力分析，受重力、拉力、彈力和摩擦力，其中彈力可能向上，也可能向下；要分兩種情況根據(jù)牛頓第二定律列方程求解即可
（3）根據(jù)牛頓第二定律求得沿斜面上滑和下滑的加速度，根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式求得上滑和下滑經(jīng)過C點(diǎn)的時(shí)間

解答 解：（1）小環(huán)的勻加速直線運(yùn)動，有運(yùn)動學(xué)公式可知$x=\frac{1}{2}a{t}^{2}$，解得a=$\frac{2x}{{t}^{2}}=\frac{2×2}{{1}^{2}}m/{s}^{2}=4m/{s}^{2}$
（2）令Fsin53°-mg=0，則F=15.5N
當(dāng)F＜15.5N時(shí)，環(huán)與桿上部接觸，通過受力分析，根據(jù)牛頓第二定律可知Fcosθ-μN(yùn)=ma，N+Fsinθ=mg
聯(lián)立解得$F=\frac{ma+μg}{cosθ+μsinθ}=12N$
當(dāng)F＞15.5N，環(huán)與桿下部接觸，通過受力分析，由牛頓第二定律可知Fcosθ-μN(yùn)′=ma，F(xiàn)sinθ=mg+N′
聯(lián)立解得$F=\frac{ma-μg}{cosθ-μsinθ}=124N$
（3）到B點(diǎn)時(shí)的速度v_B=at=8m/s
斜面上行過程受力如圖mgsinθ+μmgcosθ=ma₁
解得${a}_{1}=10m/{s}^{2}$
運(yùn)動到最高點(diǎn)所需時(shí)間${t}_{1}=\frac{{v}_{B}}{{a}_{1}}=0.8s$
mgsinθ-μmgcosθ=ma₂
解得${a}_{2}=6m/{s}^{2}$
達(dá)到C點(diǎn)所需時(shí)間為t₂，則$x={v}_{B}{t}_{2}-\frac{1}{2}{{a}_{1}t}_{2}^{2}$，解得t₂=1s（大于0.8s舍去），
t₂=0.6s
上行最大位移為x₂=3.2m
下行還需${x}_{2}-x=\frac{1}{2}{{a}_{2}t}_{3}^{2}$，解得${t}_{3}=\frac{\sqrt{15}}{15}s$
所以下行經(jīng)過C的時(shí)間${t}_{2}=\frac{4}{5}+\frac{\sqrt{15}}{15}s$
上行經(jīng)過C點(diǎn)的時(shí)間t₂=0.6s
答：（1）圓環(huán)加速度a的大小為4m/s²；
（2）拉力F的大小為12N或者124N．
（3）若環(huán)沖上BD后立即撤去拉力F，經(jīng)一段時(shí)間后運(yùn)動到達(dá)C點(diǎn)，已知BC間距離為3m，達(dá)到C點(diǎn)的時(shí)間為下行經(jīng)過C的時(shí)間${t}_{2}=\frac{4}{5}+\frac{\sqrt{15}}{15}s$
上行經(jīng)過C點(diǎn)的時(shí)間t₂=0.6s

點(diǎn)評 本題要分兩種情況對物體受力分析，然后根據(jù)平衡條件列方程求解，關(guān)鍵是分情況討論