Question

12．如圖所示，光滑水平面上有一質(zhì)量M=1.98kg的小車，車的B點(diǎn)右側(cè)的上表面是粗糙水平軌道，車的B點(diǎn)的左側(cè)固定以半徑R=0.7m的$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道，圓弧軌道與水平軌道在B點(diǎn)相切．車的最右端D點(diǎn)固定輕質(zhì)彈簧彈簧處于自然長(zhǎng)度其左端正好對(duì)應(yīng)小車的C點(diǎn)．B與C之間距離L=0.9m，1個(gè)質(zhì)量m=2.0kg的小物塊，置于車的B點(diǎn)，車與小物塊均處于靜止?fàn)顟B(tài)，突然有一質(zhì)量m₀=20g的子彈，以速度v₀=50m/s擊中小車并停留在車中，設(shè)子彈擊中小車的過程時(shí)間極短，已知小物塊與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.50，g取10m/s²則，
（1）通過計(jì)算判斷小物塊是否能達(dá)到圓弧軌道的最高點(diǎn)A，并求當(dāng)小物塊再次回到B點(diǎn)時(shí)，小物塊的最大速度大��；
（2）若已知彈簧被小物塊壓縮的最大壓縮量x=10cm，求彈簧的最大彈性勢(shì)能；
（3）求小物塊與車最終相對(duì)靜止時(shí)，它距B點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析 （1）由于子彈擊中小車的過程時(shí)間極短，則子彈和小車組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律求出子彈擊中小車后共同速度．此后小物塊沿圓軌道上滑，到圓軌道最高點(diǎn)時(shí)，子彈、小車和小物塊速度相同，由水平動(dòng)量守恒求出共同速度，再由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒求小物塊上升的最大高度h，將h與R比較，即可判斷小物塊是否能達(dá)到圓弧軌道的最高點(diǎn)A，再根據(jù)系統(tǒng)水平動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒求小物塊再次回到B點(diǎn)時(shí)小物塊的最大速度．
（2）當(dāng)彈簧具有最大彈性勢(shì)能時(shí)三者速度相同，由動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律結(jié)合求解．
（3）小物塊與車最終相對(duì)靜止時(shí)，三者速度相同，由動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律結(jié)合求解．

解答 解：（1）對(duì)于子彈打小車的過程，取向右為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得
     m₀v₀=（m₀+M）v．
可得 v=5m/s
當(dāng)小物塊運(yùn)動(dòng)到圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)，三者共速為v_共1．
根據(jù)動(dòng)量守恒定律得
     m₀v₀=（m₀+M+m）v_共1．
解得 v_共1=2.5m/s
根據(jù)機(jī)械能守恒定律得
      $\frac{1}{2}$（m₀+M）v²=$\frac{1}{2}$（m₀+M+m）v_共1²+mgh
解得 h=0.625m＜R=0.7m，所以小物塊不能達(dá)到圓弧軌道的最高點(diǎn)A．
當(dāng)小物塊再次回到B點(diǎn)時(shí)，小物塊速度為v₁，車和子彈的速度為v₂．
根據(jù)動(dòng)量守恒定律得
  （m₀+M）v=mv₁+（m₀+M）v₂．
根據(jù)能量守恒定律得 $\frac{1}{2}$（m₀+M）v²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$（m₀+M）v₂²．
解得 v₁=5m/s，v₂=0
（2）當(dāng)彈簧具有最大彈性勢(shì)能E_p時(shí)三者速度相同，由動(dòng)量守恒定律得
     m₀v₀=（m₀+M+m）v_共2．
可得 v_共2=v_共1=2.5m/s
根據(jù)能量守恒定律得
     μmg（L+x）+E_p=$\frac{1}{2}$（m₀+M+m）v_共2²-$\frac{1}{2}$（m₀+M+m）v_共3²．
解得 E_p=2.5J
（3）當(dāng)小物塊與車最終相對(duì)靜止時(shí)，三者共速為v_共3，它距B點(diǎn)的距離為L(zhǎng)_B．
由動(dòng)量守恒定律得
     m₀v₀=（m₀+M+m）v_共3．
可得 v_共3=v_共1=2.5m/s
根據(jù)能量守恒定律得
     μmgS=E_p+$\frac{1}{2}$（m₀+M+m）v_共2²-$\frac{1}{2}$（m₀+M+m）v_共3²．
解得 S=0.25J
則 L_B=（L+x）-S=0.75m
答：
（1）小物塊不能達(dá)到圓弧軌道的最高點(diǎn)A，當(dāng)小物塊再次回到B點(diǎn)時(shí)，小物塊的最大速度大小是5m/s；
（2）若已知彈簧被小物塊壓縮的最大壓縮量x=10cm，彈簧的最大彈性勢(shì)能是2.5J；
（3）小物塊與車最終相對(duì)靜止時(shí)，它距B點(diǎn)的距離是0.75m．

點(diǎn)評(píng) 本題是系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒和能量守恒的問題，求解兩物體間的相對(duì)位移，往往根據(jù)能量守恒研究．要分析清楚物塊的運(yùn)動(dòng)過程，把握隱含的臨界狀態(tài)：速度相同，結(jié)合動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律研究．