Question

2．如圖所示，質(zhì)量為m₃=4kg的滑道靜止在光滑的水平面上，滑道的AB部分是半徑為R=2m的四分之一圓弧，圓心0在B點正上方，其他部分水平，在滑道右側(cè)固定一輕彈簧，滑道除 CD部分粗糙外其他部分均光滑．質(zhì)量為m₂=3kg的物體2（ 可視為質(zhì)點）放在滑道上的B點，現(xiàn)讓 質(zhì)量為m₁=1kg的物體（可視為質(zhì)點）自A點上方R處由靜止釋放．兩物體在滑道上的C點相碰后粘在一起（g=10m/s²），求：
（1）物體1第一次到達B點時的速度大��；
（2）B點和C點之間的距離；
（3）若CD=0.3m，兩物體與滑道CD部分間的動摩擦因數(shù)都為0.2，兩物體最后一次壓縮彈簧時，求彈簧的最大彈性勢能的大�。�

Answer 1

分析 （1）物體1從釋放到B點的過程中，物體2由于不受摩擦力，相對于地面靜止不動．物體1和滑道組成的系統(tǒng)水平不受外力，水平動量守恒，根據(jù)水平動量守恒和系統(tǒng)的機械能守恒分別列式，求出物體1第一次到達B點時的速度大小；
（2）B點和C點之間的距離即為滑道在兩個物體碰撞前向左滑動的距離．用位移與時間的比值表示平均速度，根據(jù)物體1和滑道的水平動量守恒列式，求出滑道向左運動的距離，即可得解．
（3）物體1從釋放到與物體2相碰前的過程中，系統(tǒng)中只有重力做功，系統(tǒng)的機械能守恒，根據(jù)機械能守恒和動量守恒列式，可求出物體1、2碰撞前兩個物體的速度；物體1、2碰撞過程，根據(jù)動量守恒列式求出碰后的共同速度．碰后，物體1、2向右運動，滑道向左運動，彈簧第一次壓縮最短時，根據(jù)系統(tǒng)的動量守恒得知，物體1、2和滑道速度為零，此時彈性勢能最大．根據(jù)能量守恒定律求解在整個運動過程中，彈簧具有的最大彈性勢能．

解答 解：（1）物體1由靜止到第一次到達B點的過程，物體2始終靜止，以物體1和滑道為研究對象，水平方向的動量守恒，取水平向右為正方向，則有：
   m₁v₁-m₃v₃=0 
根據(jù)系統(tǒng)的機械能守恒得：m₁g•2R=$\frac{1}{2}$m₁v₁²+$\frac{1}{2}$m₃v₃²
聯(lián)立解得  v₁=8m/s，v₃=2m/s
（2）兩物體在滑道上的C點相碰后粘在一起，故B點和C點之間的距離即為滑道在兩個物體碰撞前向左滑動的距離．物體1從釋放到與相碰撞的過程中，物體1和滑道組成的系統(tǒng)水平方向動量守恒，設物體1的水平位移大小為s₁，滑道水平位移大小s₃，有：
  0=m₁$\frac{{s}_{1}}{t}$-m₃$\frac{{s}_{3}}{t}$=0
又s₁+s₃=R
可以求得 s₃=0.4m
所以B點和C點之間的距離是0.4m．
（3）設物體1和物體2相碰后的共同速度設為v₂．取向右為正方向，由動量守恒定律有 m₁v₁=（m₁+m₂）v₂
由于物體1、物體2和滑道整體在水平方向動量守恒，彈簧第一次壓縮最短時由動量守恒定律可知物體1、2和滑道速度為零，此時彈性勢能最大，設為E_Pm．
根據(jù)能量轉(zhuǎn)化和守恒定律得：$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v₂²+$\frac{1}{2}$m₃v₃²-μ（m₁+m₂）g$\overline{CD}$=E_Pm
聯(lián)立以上方程，代入數(shù)據(jù)可以求得，E_Pm=$\frac{253}{15}$J
答：
（1）物體1第一次到達B點時的速度大小是2m/s；
（2）B點和C點之間的距離是0.4m；
（3）彈簧的最大彈性勢能的大小是$\frac{253}{15}$J．

點評 本題是系統(tǒng)水平方向動量守恒和能量守恒的問題，用位移與時間之比表示速度是常用的方法．要正確分析能量是如何轉(zhuǎn)化，能運用能量守恒定律求彈性勢能．