Question

8．如圖1所示，固定兩根與水平面成θ=30°角的足夠長(zhǎng)光滑金屬導(dǎo)軌平行放置，導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)=1m，導(dǎo)軌底端接有阻值為R=1Ω的電阻，導(dǎo)軌的電阻忽略不計(jì)．整個(gè)裝置處于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直于導(dǎo)軌平面斜向上，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T．現(xiàn)有一質(zhì)量為m=0.2kg、電阻不計(jì)的金屬棒用細(xì)繩通過(guò)光滑滑輪與質(zhì)量為M=0.5kg的物體相連，細(xì)繩與導(dǎo)軌平面平行．將金屬棒與M由靜止釋放，棒沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)距離s=2m后開始做勻速運(yùn)動(dòng)．運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，棒與導(dǎo)軌始終保持垂直接觸．（取重力加速度g=10m/s²）求：
（1）金屬棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度；
（2）棒從釋放到開始勻速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）若保持某一大小的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁不變，取不同質(zhì)量M的物塊拉動(dòng)金屬棒，測(cè)出金屬棒相應(yīng)的做勻速運(yùn)動(dòng)的v值，得到實(shí)驗(yàn)圖象如圖2所示，請(qǐng)根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)計(jì)算出此時(shí)的B₁（結(jié)果可保留根號(hào)）；
（4）改變磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B₂，B₂=2B₁，其他條件不變，請(qǐng)畫出相應(yīng)的v-M圖線，并請(qǐng)說(shuō)明圖線與M軸的交點(diǎn)的物理意義．

Answer 1

分析 （1）金屬棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，受力平衡，繩子的拉力大小等于Mg，由平衡條件和安培力公式F_A=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$求解速度．
（2）金屬棒上滑的過(guò)程中，M的重力勢(shì)能減小轉(zhuǎn)化為m的重力勢(shì)能、M和m的動(dòng)能及電路中的內(nèi)能，根據(jù)能量守恒定律求解電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）由（1）中速度與質(zhì)量的關(guān)系式，分析圖象的斜率與截距的意義，求解B₁．
（4）根據(jù)磁感應(yīng)強(qiáng)度的關(guān)系可得出圖象失斜率變化，則可以作出v-M圖線，并明確圖象與M軸交點(diǎn)的物理意義．

解答 解：（1）金屬棒受力平衡，所以
Mg=mgsinθ+BIL  ①
又I=$\frac{BLv}{R}$         ②
所求速度為：v=$\frac{（M-msinθ）gR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
代入數(shù)據(jù)解得：v=4m/s             
（2）對(duì)系統(tǒng)，由能量守恒有：
Mgs=mgssinθ+Q+$\frac{1}{2}$（M+m）v²③
所求熱量為：Q=Mgs-mgs sin θ-$\frac{1}{2}$（M+m）v²
代入數(shù)據(jù)解得：Q=2.4J   
（3）由上式①②變換成速度與質(zhì)量的函數(shù)關(guān)系為：
v=$\frac{（M-msinθ）gR}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{gR}{{B}^{2}{L}^{2}}M$-$\frac{mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$-④
再由圖象可得：$\frac{gR}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{10}{0.3}$
所以   B₁=$\sqrt{0.3}$T  
（4）由④式的函數(shù)關(guān)系可知，當(dāng)B₂=2B₁時(shí)，圖線的斜率減小為原來(lái)的$\frac{1}{4}$．
與M軸的交點(diǎn)不變，圖線與M軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：msinθ．      
坐標(biāo)圖上畫出相應(yīng)的v-M圖線，如圖紅線所示        

答：（1）金屬棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度4m/s；
（2）棒從釋放到開始勻速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為2.4J
（3）根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)計(jì)算出此時(shí)的B₁為$\sqrt{3}$T
（4）改變磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B₂，B₂=2B₁，其他條件不變，相應(yīng)的v-M圖線如圖所示，并請(qǐng)說(shuō)明圖線與M軸的交點(diǎn)表示msinθ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查電磁感應(yīng)規(guī)律與功能關(guān)系和受力分析的結(jié)合，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)物理規(guī)律得到解析式，再分析圖象的數(shù)學(xué)意義，采用數(shù)學(xué)上數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行分析求解，注意根據(jù)功能關(guān)系分析產(chǎn)生的焦耳熱．