Question

（2011?江蘇模擬）有兩個(gè)用特殊材料做成的兩個(gè)物體A和B，質(zhì)量都為m；它們之間存在一種相互作用，這個(gè)作用力F與它們間的距離x的關(guān)系為F=ρ（x₀-x），其中k、x₀為已知常數(shù)，當(dāng)兩者間距離x＜x₀時(shí)，這個(gè)作用表現(xiàn)為斥力，當(dāng)x＞x₀時(shí)，這個(gè)作用表現(xiàn)為引力，當(dāng)x=x₀時(shí)，作用力為零．現(xiàn)將物體B固定在水平地面上，再將A移到B的正上方，最終A能靜止于B的正上方的某處，試求：（已知重力加速度大小為g） 
（1）當(dāng)A靜止于B的正上方時(shí)，兩者間的距離x₁多大；
（2）當(dāng)A靜止于B的正上方時(shí)，給A施加一個(gè)豎直向上的拉力，使A向上做勻加直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，加速度大小為a，則經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，B開(kāi)始離開(kāi)地面；
（3）若把A從B的正上方相距x₀處由靜止釋放，則A向下運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中所能達(dá)到的最大速度v_m為多少．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)A靜止于B的正上方時(shí)，其重力與斥力平衡，由平衡條件求解兩者間的距離x₁．
（2）當(dāng)B離開(kāi)地面時(shí)，B受到A的引力等于B的重力，由F=ρ（x₀-x）求出AB間的距離，由位移公式求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（3）A釋放后開(kāi)始向下做變加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律得出A、B間距離與速度變化率的關(guān)系式，運(yùn)用積分的方法求出最大速度v_m．

解答：解：
（1）當(dāng)A靜止于B的正上方時(shí)，它一定是在重力和B的斥力作用下平衡，則有：
   mg=ρ（x₀-x₁）
解得：x1=x0-

mg

ρ

（2）當(dāng)B離開(kāi)地面時(shí)，B受到A的引力等于B的重力，
即 mg=ρ（x₂-x₀）
故此時(shí)AB間的距離 x2=

mg

ρ

+x0
在A勻加速上升過(guò)程中：x2-x1=

1

2

at2
解得 t=2

mg ρa(bǔ)

（3）A釋放后開(kāi)始向下做變加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)AB相距為x₁時(shí)速度達(dá)到最大，此過(guò)程中：mg-ρ(x0-x)=m

△v

△t

=m

△v

△x

?

△x

△t

=mv

△v

△x

變形為：（mg-ρx₀）△x+ρx△x=mv△v
對(duì)上式進(jìn)行積分得：(mg-ρx0)(x1-x0)+

1

2

(

x

2 1

-

x

2 0

)=

1

2

m

v

2 m

化簡(jiǎn)得：A所能達(dá)到的最大速度 vm=g

m ρ

答：
（1）當(dāng)A靜止于B的正上方時(shí)，兩者間的距離x1=x0-

mg

ρ

；
（2）當(dāng)A靜止于B的正上方時(shí)，給A施加一個(gè)豎直向上的拉力，使A向上做勻加直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，加速度大小為a，經(jīng)過(guò)時(shí)間 t=2

mg ρa(bǔ)

，B開(kāi)始離開(kāi)地面；
（3）若把A從B的正上方相距x₀處由靜止釋放，A向下運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中所能達(dá)到的最大速度為 vm=g

m ρ

．

點(diǎn)評(píng)：本題首先要認(rèn)真審題，讀懂題意．對(duì)于變加速運(yùn)動(dòng)，不能勻變速運(yùn)動(dòng)的公式求速度，常常采用微分、積分的方法求速度．