Question

如圖1所示，AB段是一段光滑的水平軌道，輕質(zhì)彈簧一端固定在A點(diǎn)，放置在軌道AB上，BC段是半徑R=2.5m的光滑半圓弧軌道，有一個(gè)質(zhì)量m=0.1kg的小滑塊，緊靠在被壓緊的彈簧前，松開彈簧，物塊被彈出后恰好能通過C點(diǎn)，（g取10m/s²）

求：（1）彈簧被壓緊時(shí)的彈性勢能；
（2）保持彈簧每次的壓縮量相同，讓物塊的質(zhì)量在

1

4

m至m之間變化，求物塊從C點(diǎn)飛出后在水平軌道上落點(diǎn)的范圍；
（3）保持物塊的質(zhì)量m不變，改變每次對(duì)彈簧的壓縮量，設(shè)小滑塊經(jīng)過半圓弧軌道C點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)小滑塊作用力的大小為F_N，試研究F_N與彈簧的彈性勢能E_P的函數(shù)關(guān)系，并在坐標(biāo)紙上作出F_N-E_P圖象．

Answer 1

（1）物塊恰能過C點(diǎn)，有：mg=m

v 2c

R

vc=

gR

=5m/s
物塊由初位置至C點(diǎn)，設(shè)彈簧彈力做功W₁，由動(dòng)能定理知：W1-2mgR=

1

2

m

v

2C

代入數(shù)據(jù)得：W₁=6.25J
即初釋時(shí)彈簧具有的彈性勢能E_P=W₁=6.25J；
（2）當(dāng)物體質(zhì)量為

1

4

m時(shí)，過C點(diǎn)的速度為v′_C，則：
W1-

1

4

mg×2R=

1

2

×

m

4

v′

2C

代入數(shù)據(jù)得：v′_C=20m/s
設(shè)速度為v_C時(shí)水平位移為x₁，設(shè)速度為v′_C時(shí)水平位移為x₂，從平拋到落地的時(shí)間為t，則有：
2R=

1

2

gt²
x₁=v_Ct
x₂=v′_Ct
代入數(shù)據(jù)得：x₁=5m
x₂=20m
所以，物塊從C點(diǎn)飛出后在水平軌道上落點(diǎn)的范圍為5m到20m之間；
（3）設(shè)每次彈出物塊彈簧做功為W，物塊至C處的速度為V_C，C處對(duì)物塊的彈力為F_N
則：

1

2

m

v

2c

=W-2mgR
_W=E_P
在C點(diǎn)由牛頓第二定律得：FN+mg=m

v 2c

R

整理得：FN=

2EP

5

-5mg=

4

5

EP-5
作圖，如右圖．

答：：（1）彈簧被壓緊時(shí)的彈性勢能為6.25J
（2）物塊從C點(diǎn)飛出后在水平軌道上落點(diǎn)的范圍為5m到20m；
（3）F_N與彈簧的彈性勢能E_P的函數(shù)關(guān)系為FN=

4

5

E_P-5，F(xiàn)_N-E_P圖象為：