Question

12．已知神舟九號(hào)飛船在距地面高度為h的圓形軌道繞地球飛行．地球半徑R，表面處的重力加速度為g．
（1）用以上數(shù)據(jù)求出第一宇宙速度．
（2）神舟九號(hào)飛船在上述圓軌道上運(yùn)行的角速度和周期．

Answer 1

分析 （1）衛(wèi)星繞地球附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度即為第一宇宙速度，由重力等于向心力求解．
（2）在地球表面，重力和萬有引力相等．神舟九號(hào)飛船在軌道上運(yùn)行時(shí)，由萬有引力提供飛船做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．由此列式求解．

解答 解：（1）設(shè)第一宇宙速度為v．
根據(jù)mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$ 得v=$\sqrt{gR}$
（2）神舟九號(hào)飛船繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬有引力提供向心力，則得
  G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=mω²（R+h）
又在地球表面，由萬有引力等于重力，得 G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg
聯(lián)立解得ω=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{（R+h）^{3}}}$
周期為 T=$\frac{2π}{ω}$=2π$\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{g{R}^{2}}}$
答：
（1）第一宇宙速度為$\sqrt{gR}$．
（2）神舟九號(hào)飛船在上述圓軌道上運(yùn)行的角速度和周期分別為$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{（R+h）^{3}}}$和2π$\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{g{R}^{2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 萬有引力的應(yīng)用關(guān)鍵是抓住兩點(diǎn)：（1）在星球表面，物體的重力和萬有引力相等；（2）環(huán)繞天體受的萬有引力提供環(huán)繞天體圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．注意軌道半徑和距地面距離的關(guān)系．