Question

如圖所示，光滑水平面右端B處連接一個(gè)豎直的半徑為R的光滑半圓軌道，在離B距離為x的A點(diǎn)，用水平恒力將質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)從靜止開始推到B處后撤去恒力，質(zhì)點(diǎn)沿半圓軌道運(yùn)動(dòng)到C處后又正好落回A點(diǎn)：

 

(1)求推力對(duì)小球所做的功。

(2)x取何值時(shí)，完成上述運(yùn)動(dòng)所做的功最少?最小功為多少。

(3)x取何值時(shí)，完成上述運(yùn)動(dòng)用力最小?最小力為多少。

Answer 1

（1）W_F=mg(16R²+x²)/8R                                         

(2)解得x=2R時(shí)， W_F最小，最小的功W_F=mgR

 (3) x=4R時(shí)  +=8，最小的力F=mg

解析:

（1）質(zhì)點(diǎn)從半圓弧軌道做平拋運(yùn)動(dòng)又回到A點(diǎn)，設(shè)質(zhì)點(diǎn)在C點(diǎn)的速度為v_C,質(zhì)點(diǎn)從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所用的時(shí)間為t，在水平方向     x=v_Ct                    ①  

豎直方向上2R=gt²                                                                                ② 

解①②有   v_C=                                         ③

對(duì)質(zhì)點(diǎn)從A到C由動(dòng)能定理有W_F-mg·2R=mv                   ④

解W_F=mg(16R²+x²)/8R                                          ⑤

(2)要使F力做功最少，確定x的取值，由W_F=2mgR+mv知，只要質(zhì)點(diǎn)在C點(diǎn)速度最小，則功W_F就最小，就是物理極值。若質(zhì)點(diǎn)恰好能通過(guò)C點(diǎn)，其在C點(diǎn)最小速度為v，由牛頓第二定律有mg=,則v=                                            ⑥

由③⑥有=,解得x=2R時(shí)， W_F最小，最小的功W_F=mgR

 (3)由⑤式W_F=mg()而F=mg()

因＞0，x＞0，由極值不等式有當(dāng)=時(shí)，即x=4R時(shí)  +=8，最小的力F=mg