Question

從地球表面向火星發(fā)射火星探測器。設(shè)地球和火星都在同一平面上繞太陽做勻速圓周運(yùn)動。火星軌道半徑為地球軌道半徑的1.5倍。簡單而又比較節(jié)省能量的發(fā)射過程可分為兩步進(jìn)行：第一步，在地球表面用火箭對探測器進(jìn)行加速，使之獲得足夠的動能，成為一個繞地球運(yùn)行的人造衛(wèi)星；第二步，在適當(dāng)時刻點(diǎn)燃與探測器連在一起的火箭發(fā)動機(jī)。在短時間內(nèi)對探測器沿原方向加速，使其速度數(shù)值增加到適當(dāng)值，使探測器沿半個橢圓軌道（該橢圓長軸兩端分別與地球公轉(zhuǎn)軌道及火星公轉(zhuǎn)軌道相切）射到火星上。如圖(a)所示。已知地球半徑，重力加速度g=10m/s²。

（1）為使探測器成為繞地球運(yùn)行的人造衛(wèi)星，探測器在地面附近至少要獲得多大的速度(不考慮地球自轉(zhuǎn))。
（2）求火星探測器的飛行時間為多少天（已知，1年為365天）。
（3）當(dāng)探測器繞地球運(yùn)行穩(wěn)定后，在某年 3月 1 日零時測得探測器與火星之間的角度為 60°，如圖(b)所示。求應(yīng)在何年何月何日點(diǎn)燃探測器上的火箭發(fā)動機(jī)方能使探測器恰好落在火星表面(時間計(jì)算僅需精確到天，已知，1年為365天)。

Answer 1

（1）（2）（3）即同年的 4月11日

（1）         
（2）探測器和地球都圍繞太陽運(yùn)動，設(shè)探測器的周期為t，地球周期為T₀。依據(jù)開普勒第三定律有：
      探測器的飛行時間
（3）)為使探測器沿橢圓軌道到達(dá)與火星軌道的相切點(diǎn)時，火星恰好運(yùn)行到這一點(diǎn)，必須選擇適當(dāng)時機(jī)點(diǎn)燃火箭發(fā)動機(jī)。
地球公轉(zhuǎn)的運(yùn)動周期
地球公轉(zhuǎn)的角速度      
火星公轉(zhuǎn)周期
火星公轉(zhuǎn)角速度
探測器從點(diǎn)燃火箭發(fā)動機(jī)至到達(dá)火星所需時間為
探測器運(yùn)行至火星的251天內(nèi)，火星運(yùn)行的角度為
為了使探測器到達(dá)火星軌道時，正好射到火星上，那么探測器在橢圓軌道近日點(diǎn)點(diǎn)燃火箭發(fā)動機(jī)時，火星應(yīng)在其遠(yuǎn)日點(diǎn)的切點(diǎn)之前137.5°處，即探測器點(diǎn)燃發(fā)動機(jī)時，與火星的角度應(yīng)為180°-137.5°=42.5°
但是，已知某年3月1日零時探測器與火星的角距離為 60°(火星在前，探測器在后)，為使其角度成為 42.5°，必須等待一段時間，設(shè)為t天，使二者達(dá)到角距離42.5°的合適位置。t 滿足


因此點(diǎn)燃火箭發(fā)動機(jī)的時刻應(yīng)為當(dāng)年的 3月1日之后42天，即同年的 4月11日
本題考查圓周運(yùn)動的規(guī)律和萬有引力定律的應(yīng)用，可以根據(jù)開普勒第三定律求解第二問，借助幾何關(guān)系求解第三問