Question

11．如圖所示，豎直面內(nèi)的軌道ABC固定放置在光滑水平面上，其中AB段是半徑為R的$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道，B點(diǎn)為其最低點(diǎn)：BC段與圓弧最低點(diǎn)水平相切，緊挨BC軌道的右端靜止放置-質(zhì)量為M，長(zhǎng)度為L(zhǎng)的小車，小車上表面與BC軌道上表面等高，質(zhì)量為m的滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）沿圓弧軌道A點(diǎn)由靜止開始下滑，已知滑塊與軌道BC段上表面和小車上表面的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，重力加速度取g，不計(jì)空氣阻力；

（1）求滑塊到達(dá)B點(diǎn)的速度；
（2）求滑塊對(duì)$\frac{1}{4}$圓弧軌道最低點(diǎn)B的壓力大�。�
（3）欲使滑塊既能滑上小車，又不會(huì)離開小車最右端，試求軌道BC段的長(zhǎng)度X的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）滑塊沿AB圓弧下滑時(shí)，只有重力做功，機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律求滑塊滑到最低點(diǎn)B時(shí)速度的大�。�
（2）在B點(diǎn)，由牛頓第二定律求出軌道對(duì)滑塊的支持力，從而得到滑塊對(duì)軌道的壓力．
（3）研究BC段運(yùn)動(dòng)過程，由動(dòng)能定理求出滑塊經(jīng)過C點(diǎn)的速度．滑塊滑上小車后，遵守動(dòng)量守恒和能量守恒．根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律列式求解．

解答 解：（1）A→B過程，由機(jī)械能守恒定律得
   mgR=$\frac{1}{2}$mv_B²；
得 v_B=$\sqrt{2gR}$
（2）在B點(diǎn)，由牛頓第二定律得
  N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得  N=3mg
由牛頓第三定律知，滑塊對(duì)$\frac{1}{4}$圓弧軌道最低點(diǎn)B的壓力大小為3mg．
（3）B→C運(yùn)動(dòng)過程，由動(dòng)能定理得：
-μmgx=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
要使滑塊能滑上小車，須有：v_C＞0，由上式解得 x＜$\frac{2R}{μ}$
滑塊滑上小車后，遵守動(dòng)量守恒和能量守恒．若滑塊恰好滑到小車的最右端，取向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律得：
   mv_C=（m+M）v
  $\frac{1}{2}$mv_C²=$\frac{1}{2}$（m+M）v²+μmL
又-μmgx=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$，v_B=$\sqrt{2gR}$
聯(lián)立以上四式解得  x=$\frac{R}{μ}$-$\frac{M+m}{μM}$L
所以欲使滑塊既能滑上小車，又不會(huì)離開小車最右端，軌道BC段的長(zhǎng)度x的取值范圍為：$\frac{R}{μ}$-$\frac{M+m}{μM}$L≤x＜$\frac{2R}{μ}$
答：
（1）滑塊到達(dá)B點(diǎn)的速度是$\sqrt{2gR}$；
（2）滑塊對(duì)$\frac{1}{4}$圓弧軌道最低點(diǎn)B的壓力大小是3mg．
（3）欲使滑塊既能滑上小車，又不會(huì)離開小車最右端，軌道BC段的長(zhǎng)度x的取值范圍為：$\frac{R}{μ}$-$\frac{M+m}{μM}$L≤x＜$\frac{2R}{μ}$．

點(diǎn)評(píng) 本題要分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)情況，正確選擇研究過程，知道滑塊在小車上滑行的過程，遵守兩大守恒定律：動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律．