Question

3．如圖所示，在光滑水平面上有一長為L₁、寬為L₂的單匝矩形閉合導體線框abcd，處于磁感應強度為B的有界勻強磁場中，其ab邊與磁場的邊界重合．線框由同種粗細均勻的導線制成，它的總電阻為R．現用垂直于線框ab邊的水平拉力，將線框以速度v向右沿水平方向勻速拉出磁場（此過程中保持線框平面與磁感線垂直，且ab邊與磁場邊界平行），線框中產生的焦耳熱與導體線框abcd以ab為軸勻速順時針（cd向上）轉動90°過程中線框中產生的焦耳熱相同．求線框勻速轉動的角速度．

Answer 1

分析 將線框以速度v向右沿水平方向勻速拉出磁場時，線框中產生恒定電流，由焦耳定律求出焦耳熱．導體線框abcd以ab為軸勻速順時針轉動90°過程中，線框中產生正弦式電流，根據有效值列式焦耳熱表達式，即可求解．

解答 解：將線框以速度v向右沿水平方向勻速拉出磁場時，線框中產生的感應電流大小為：I=$\frac{B{L}_{2}v}{R}$
產生的焦耳熱為：Q=I²Rt=$（\frac{B{L}_{2}v}{R}）^{2}$R$•\frac{{L}_{1}}{v}$=$\frac{{B}^{2}{L}_{2}^{2}{L}_{1}v}{R}$
設線框勻速轉動的角速度為ω．
線框勻速轉動時產生感應電動勢最大值為：E_m=BL₁L₂ω．
有效值為：E=$\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}$
據題有：Q=$\frac{{E}^{2}}{R}•\frac{\frac{π}{2}}{ω}$
聯立解得：ω=$\frac{4v}{π{L}_{1}}$
答：線框勻速轉動的角速度是$\frac{4v}{π{L}_{1}}$．

點評 考查法拉第電磁感應定律與閉合電路歐姆定律，及焦耳定律的應用，注意只有是正弦式交流電時，最大值與有效值才存在$\sqrt{2}$倍的關系，求交流電的熱量要用有效值．