Question

4．如圖所示為一方向垂直紙面向里的半圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，O為其圓心，AB為其直徑．足夠長的收集板MN平行與AB且與半圓形區(qū)域相切于P點(diǎn)．O點(diǎn)放置一粒子源，可在OA到OB之間180°范圍內(nèi)向磁場內(nèi)連續(xù)射入速率為v₀的帶負(fù)電粒子．已知AB=2L，粒子的質(zhì)量均為m，帶電荷量均為q，不計(jì)粒子的重力以及相互作用．
（1）若要使所有粒子均不能被收集板收集，所加磁場需滿足的條件
（2）若所加磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為$\frac{m{v}_{0}}{qL}$，收集板上被粒子擊中區(qū)域上靠近M端距P點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離
（3）若恰有$\frac{5}{6}$的粒子能被收集板收集到，求所加磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度．

Answer 1

分析 （1）由粒子不能被收集求得運(yùn)動(dòng)半徑范圍，進(jìn)而根據(jù)洛倫茲力作向心力求得磁感應(yīng)強(qiáng)度范圍；
（2）由磁感應(yīng)強(qiáng)度求得粒子運(yùn)動(dòng)半徑，再分析粒子到達(dá)最遠(yuǎn)處的條件，然后由幾何關(guān)系求得距離；
（3）分析得到粒子能被收集到的發(fā)射速度方向的范圍，再根據(jù)臨界粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)求得粒子運(yùn)動(dòng)的半徑，進(jìn)而求得磁感應(yīng)強(qiáng)度．

解答 解：（1）由左手定則可知粒子右偏，那么，從O點(diǎn)射出的粒子若從AP邊界離開磁場，則必打在收集板上被收集，
所以，要使所有粒子均不能被收集板收集，則粒子直徑2R＜L；
粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力作向心力，所以有，$B{v}_{0}q=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{R}$，
解得：$R=\frac{m{v}_{0}}{Bq}$；
所以，要使所有粒子均不能被收集板收集，$\frac{2m{v}_{0}}{Bq}＜L$，則$B＞\frac{2m{v}_{0}}{qL}$；
（2）若所加磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為$\frac{m{v}_{0}}{qL}$，$R=\frac{m{v}_{0}}{Bq}=L$；
如圖所示，從AP邊界射出的粒子都轉(zhuǎn)過60°，出射速度與OA方向的夾角為θ+60°，
，
那么，θ越小，粒子出射位置在AP上越靠近A，出射速度與OA方向的夾角越小，則粒子在收集板上距P點(diǎn)越遠(yuǎn)；
所以，當(dāng)θ=0時(shí)，收集板上被粒子擊中位置為靠近M端距P點(diǎn)的最遠(yuǎn)位置；
如圖所示，粒子離開磁場后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以，由幾何關(guān)系可知：粒子打在收集板上的點(diǎn)距離P點(diǎn)的距離為$\frac{L}{cos30°}=\frac{2\sqrt{3}}{3}L$，
，
所以，若所加磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為$\frac{m{v}_{0}}{qL}$，收集板上被粒子擊中區(qū)域上靠近M端距P點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為$\frac{2\sqrt{3}}{3}L$；
（3）若粒子運(yùn)動(dòng)半徑$r＜\frac{L}{2}$，則收集板收集不到粒子；若粒子運(yùn)動(dòng)半徑$r=\frac{1}{2}L$，則收集板只能收集到沿OA方向發(fā)射的粒子；所以，$r＞\frac{1}{2}L$；
當(dāng)$r＞\frac{1}{2}L$時(shí)，出射點(diǎn)在AP上的粒子都能收集到，出射點(diǎn)在PB上的粒子出射速度方向斜向右上才能被收集板收集到；
若恰有$\frac{5}{6}$的粒子能被收集板收集到，則當(dāng)粒子出射點(diǎn)在PB上，出射速度方向平行于OB時(shí)，粒子在O點(diǎn)的速度方向與OB之間的夾角為$（1-\frac{5}{6}）×180°=30°$；
如圖所示，

則$r=\frac{L}{cos60°}=2L$；
所以，由洛倫茲力作向心力可得：$B′{v}_{0}q=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{r}$，
則有：$B′=\frac{m{v}_{0}}{qr}=\frac{m{v}_{0}}{2qL}$；
答：（1）若要使所有粒子均不能被收集板收集，所加磁場B需大于$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$；
（2）若所加磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為$\frac{m{v}_{0}}{qL}$，收集板上被粒子擊中區(qū)域上靠近M端距P點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為$\frac{2\sqrt{3}}{3}L$；
（3）若恰有$\frac{5}{6}$的粒子能被收集板收集到，則所加磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為$\frac{m{v}_{0}}{2qL}$；．

點(diǎn)評 在求帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)問題中利用幾何關(guān)系時(shí)要注意粒子運(yùn)動(dòng)速度方向與弦線方向不一致，要嚴(yán)格按照粒子速度與徑向垂直求解．