Question

如圖所示，豎直放置的半圓形光滑絕緣軌道半徑為R，圓心為O，最高點(diǎn)為D，下端與絕緣水平軌道在B點(diǎn)平滑連接。一質(zhì)量為m、帶電量為+q的小物塊置于水平軌道上的A點(diǎn)。已知A、B兩點(diǎn)間的距離為L(zhǎng)，小物塊與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g。
（1）若物塊能到達(dá)的最高點(diǎn)是半圓形軌道上與圓心O等高的C點(diǎn)，則物塊在A點(diǎn)水平向左的初速度應(yīng)為多大？
（2）若整個(gè)裝置處于方向豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，物塊在A點(diǎn)水平向左的初速度v_A=，沿軌道恰好能到達(dá)最高點(diǎn)D，并向右飛出，則勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E多大？
（3）若整個(gè)裝置處于方向水平向左、場(chǎng)強(qiáng)大小E′=的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，現(xiàn)將物塊從A點(diǎn)由靜止釋放，
運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終不脫離軌道，求物塊第2n（n＝1、2、3……）次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度大小。

Answer 1

（1）v₀＝（2）E＝（3）  

（1）從A到C的過(guò)程中，由動(dòng)能定理有
－mgR－μmgL＝0－mv₀²   …………………………………………………………… ①（3分）
解得：v₀＝    ……………………………………………………………… ②（2分）
（2）從A到D的過(guò)程中，由動(dòng)能定理有
－mg·2R＋qE·2R－μ(mg－qE)L＝mv_D²－mv_A²    ………………………………… ③（3分）
在D點(diǎn)，由牛頓第二定律有
mg－qE＝m     ……………………………………………………………………… ④（2分）
由③④解得：E＝     ……………………………………………………… ⑤（2分）
（3）由題意可知，物塊第2次通過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速率與第1次通過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速率相等，
當(dāng)n＝1時(shí)，從A到B的過(guò)程中，由動(dòng)能定理有
qE′L－μmgL＝mv₁²－0     …………………………………………………………… ⑥
則v₂＝v₁＝      ………………………………………………………………… ⑦（1分）
之后物塊向右最遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)L₂的距離到B′點(diǎn)，該過(guò)程中由動(dòng)能定理有
－qE′L₂－μmgL₂＝0－mv₂²      ……………………………………………………… ⑧
解得：L₂＝L     ……………………………………………………………………… ⑨（1分）
當(dāng)n＝2時(shí)，從B′到B的過(guò)程中，由動(dòng)能定理有
qE′L₂－μmgL₂＝mv₃²－0
則v₄＝v₃＝
同理可知：L_2n＝L   ………………………………………………………………… ⑩（2分）
根據(jù)qE′L_2n－μmgL_2n＝mv_2n－1²－0   ………………………………………………… ⑾（2分）
v_2n＝v_2n－1＝    ………………………………………………………………… ⑿（2分）
本題考查動(dòng)能定律和圓周運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用，由A到C應(yīng)用動(dòng)能定理可求解，同理由A到D得過(guò)程中，應(yīng)用動(dòng)能定理可求解電場(chǎng)力做功，從而求得場(chǎng)強(qiáng)大小，物塊第2次通過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速率與第1次通過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速率相等，當(dāng)n＝1時(shí)，從A到B的過(guò)程中，動(dòng)能定理列公式，當(dāng)n＝2時(shí)，從B′到B的過(guò)程中，由動(dòng)能定理列公式會(huì)聯(lián)立求得