Question

【題目】在海面上有三艘輪船，船A以速度u向正東方向航行，船B以速度2u 向正北方向航行，船C以速度2u 向東偏北45°方向航行．在某一時(shí)刻，船B和C恰好同時(shí)經(jīng)過(guò)船A的航線并位于船A的前方，船B到船A的距離為a，船C到船A的距離為2a．若以此時(shí)刻作為計(jì)算時(shí)間的零點(diǎn)，求在t時(shí)刻B、C兩船間距離的中點(diǎn)M到船A的連線MA繞M 點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度．

Answer 1

【答案】

【解析】

以t=0時(shí)刻船A所在的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，作如圖1所示平面直角坐標(biāo)系Oxy，x軸指向正東，y軸指向正北．可以把船C的速度分解成沿正東方向的分速度vx和沿正北方向的分速度vy兩個(gè)分量．根據(jù)題意有

vx＝vy＝2u(1)

在t時(shí)刻，三船的位置如圖1所示．B、C二船在y方向位移相等，兩船的連線BC與x軸平行，兩船間的距離

(2)

BC的中點(diǎn)到B點(diǎn)的距離為．中點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為

（3）

（4）

可見(jiàn)M點(diǎn)沿x方向的速度為u，沿y方向的速度為2u，在t=0時(shí)刻BC的中點(diǎn)在x軸上，其x坐標(biāo)為3a/2．

在與M點(diǎn)固連的參考系中考察，并建立以M為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系Mx'y',x'軸與x軸平行，y'軸與y軸平行，則相對(duì)M，船A的速度只有沿負(fù)y'方向的分量，有

uAM=uAMy'=-2u(5)

在時(shí)刻t，船A在坐標(biāo)系Mx'y'的坐標(biāo)為

(6)

(7)

可以把A船的速度分解為沿連線MA方向的分量uAM1和垂直于連線MA方向的分量uAM2兩個(gè)分量，uAM1使連線MA的長(zhǎng)度增大，uAM2使連線MA的方向改變，如圖2所示．若用R表示t時(shí)刻連線MA的長(zhǎng)度，則連線MA繞M點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度

(8)

若MA與x'軸的夾角為θ，則有

(9)

而（10）

（11）

由（5）到（10）各式得

（12）