Question

3．如圖所示，固定的光滑金屬導軌間距為L=1m，導軌電阻不計，上端a、b間接有阻值為R=1.5Ω的電阻，導軌平面與水平面的夾角為θ=30°，且處在磁感應強度大小為B=1T、方向垂直于導軌平面向上的勻強磁場中．質量為m=0.4kg、電阻為r=0.5Ω的導體棒與固定彈簧相連后放在導軌上．初始時刻，彈簧恰處于自然長度，導體棒具有沿軌道向上的初速度v₀=1m/s．整個運動過程中導體棒始終與導軌垂直并保持良好接觸．已知彈簧的勁度系數為k=10N/m，彈簧的中心軸線與導軌平行．
（1）求初始時刻通過電阻R的電流I的大小和方向；
（2）當導體棒第一次回到初始位置時，速度變?yōu)関=0.8m/s，求此時導體棒的加速度大小a；
（3）導體棒最終靜止時彈簧的彈性勢能為E_p=0.2J，求導體棒從開始運動直到停止的過程中，電阻R上產生的焦耳熱Q．

Answer 1

分析 （1）根據切割產生的感應電動勢公式求出初始時刻的電動勢，結合閉合電路歐姆定律求出電流的大小，根據右手定則得出感應電流的方向．
（2）根據切割產生的感應電動勢公式、安培力公式和歐姆定律得出速度為v時的安培力，結合牛頓第二定律求出導體棒的加速度．
（3）導體棒最終靜止時處于壓縮狀態(tài)，根據胡克定律以及平衡求出壓縮量，結合能量守恒求出整個回路產生的熱量，從而得出電阻R上產生的熱量．

解答 解：（1）初始時刻，棒產生的感應電動勢為：E₁=BLv₀=1×1×1V=1V，
則通過電阻的電流為：${I}_{1}=\frac{E}{R+r}=\frac{1}{1.5+0.5}A=0.5A$，根據右手定則知，通過電阻R的電流方向由b到a．
（2）第一次回到初始位置所受的安培力為：${F}_{A}=BIL=\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$，
根據牛頓第二定律得加速度為：a=$\frac{mgsinθ-{F}_{A}}{m}=gsinθ-\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$=10×0.5-$\frac{1×1×0.8}{0.4×2}$=4m/s²．
（3）導體棒最終靜止時有：mgsinθ=kx，
解得壓縮量為：x=$\frac{mgsinθ}{k}$，
設整個過程回路產生的焦耳熱為Q，根據能量守恒有：$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+mgxsinθ={E}_{p}+{Q}_{總}$，
則${Q}_{總}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+\frac{（mgsinθ）^{2}}{k}-{E}_{p}$，
電阻R上產生的熱量為：Q=$\frac{R}{R+r}{Q}_{總}$，
代入數據解得：Q=0.3J．
答：（1）初始時刻通過電阻R的電流的大小為0.5A，通過電阻R的電流方向由b到a．
（2）此時導體棒的加速度大小為4m/s²；
（3）導體棒從開始運動直到停止的過程中，電阻R上產生的焦耳熱為0.3J．

點評 解決本題的關鍵會根據牛頓第二定律求加速度，以及結合運動學能夠分析出金屬棒的運動情況，注意動能定理求出的熱量，并不是金屬棒的熱量，而是金屬棒與內阻共有的．